Question

10．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，以BC邊上的高AB₁為邊作等邊△AB₁C₁，B₁C₁交AC于點(diǎn)B₂，△AB₁B₂的面積記做S₁；再以AB₂為邊作等邊△AB₂C₂，B₂C₂交AC₁于點(diǎn)B₃，△AB₂B₃的面積記做S₂；…，以此類推，則S_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{n}$．．

Answer 1

分析 由AB₁為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B₁為BC的中點(diǎn)，求出BB₁的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB₁的長(zhǎng)，進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB₁C₁的面積，同理求出第二個(gè)等邊三角形AB₂C₂的面積，依此類推，得到第n個(gè)等邊三角形AB_nC_n的面積．

解答 解：∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根據(jù)勾股定理得：AB₁=$\sqrt{3}$，
∴第一個(gè)等邊三角形AB₁C₁的面積為：${S}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{1}$；
∵等邊三角形AB₁C₁的邊長(zhǎng)為 $\sqrt{3}$，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB₁=$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得：AB₂=$\frac{3}{2}$，
∴第二個(gè)等邊三角形AB₂C₂的面積為${S}_{2}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{3}{2}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{2}$；
依此類推，第n個(gè)等邊三角形AB_nC_n的面積為 $\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{n}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，屬于規(guī)律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．