Question

20．已知反比例函數(shù)$y=\frac{8}{x}$與一次函數(shù)y=kx-2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a，-4），且一次函數(shù)y=kx-2的圖象與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求a、k的值；
（2）直線AB與反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)C，與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)D，那么請(qǐng)確定∠AOD與∠COB的大小關(guān)系；
（3）若點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CB為腰的等腰△CBE？如果存在請(qǐng)寫出E點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出a的值，代入一次函數(shù)求出k；
（2）根據(jù)坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，證明△OAF≌△OCE，得到答案；
（3）分BC=BE和BC=CE兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）把A（a，-4）代入y=$\frac{8}{x}$得：-4=$\frac{8}{a}$，
解得a=-2，
即A（-2，-4），
代入y=kx-2得：-4=-2k-2，
∴k=1．
答：a=-2，k=1；
（2）∠AOD=∠COB．
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），
x=0時(shí)，y=-2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），
如圖1，作CE⊥x軸于E，AF⊥y軸于F，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∴OF=4，AF=2，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-4），
∴OE=4，CE=2，
在△OAF和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OE}\\{∠OFA=∠OEC}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OCE，
∴∠AOD=∠COB；
（3）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），
∴BC=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)，BC=BE時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2-2$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)，BC=BE時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+2$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)，BC=CE時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0）；
∴當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2-2$\sqrt{2}$，0）、（2+2$\sqrt{2}$，0）、（6，0）時(shí)，△CBE是以CB為腰的等腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的求法以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、利用二元二次方程組求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)、掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．