Question

18．如圖，⊙O是以原點為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓，點P是直線y=-x+6上的一點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則S_△PQO的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先確定A點和B點坐標，再計算出AB=6$\sqrt{2}$，則OH=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，再利用切線性質得到∠PQO=90°，根據(jù)勾股定理得到PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-2}$，于是可判斷OP最小時，PQ最小，S_△PQO的值最小，然后求出此時PQ的長，再計算S_△PQO的最小值．

解答 解：作OH⊥AB于H，連接OQ、OP，如圖，
當x=0時，y=-x+6=6，則B（0，6），
當y=0時，-x+6=0，解得x=6，則A（6，0），
∵OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∵PQ為切線，
∴PQ⊥OQ，
∴∠PQO=90°，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-2}$，
∵PQ最小時，S_△PQO的值最小，
∵OP最小時，PQ最小，
∴當OP⊥AB，即P點運動到H點時，OP最小，S_△PQO的值最小，
此時PQ=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-2}$=4，
∴S_△PQO的最小值=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×4=2$\sqrt{2}$．
故選D．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．解決本題的關鍵是確定OP垂直AB時S_△PQO的值最�。�