Question

設(shè)[r，s]表示正整數(shù)r與s的最小公倍數(shù)，已知[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000．求三元正整數(shù)有序組（a，b，c）的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù)

專題：

分析：由題意可得a，b，c都是形如：2^m•5ⁿ的數(shù)，然后設(shè)a=2^m₁•5^n₁，b=2^m₂•5^n₂，c=2^m₃•5^n₃，則可得max（m₁，m₂）=3，max（n₁，n₂）=3，則可得m₃=4；m₁，m₂中必有一個是3；另一個可以是0、1、2或3之任意一種；得到m₁，m₂的取法有7種；同理可得n₁，n₂，n₃的取法有10種；繼而求得答案．

解答：解：∵[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000，
∴a，b，c都是形如：2^m•5ⁿ的數(shù)，
設(shè)a=2^m₁•5^n₁，b=2^m₂•5^n₂，c=2^m₃•5^n₃，
∵[a，b]=1000=2³•5³，[b，c]=2000=2⁴•5³，[c，a]=2000=2⁴•5³，
∴max（m₁，m₂）=3，max（n₁，n₂）=3，
∴m₃=4；m₁，m₂中必有一個是3；另一個可以是0、1、2或3之任意一種；
∴m₁，m₂的取法有7種；
同理：max（m₂，m₃）=4，max（n₂，n₃）=3，max（m₁，m₃）=4，max（n₁，n₃）=3，
∴n₁，n₂，n₃中必有兩個是3；另一個可以是0、1、2或3；
∴n₁，n₂，n₃的取法有10種；
∴m_i，n_i（i=1，2，3）不同取法共有：7×10=70（種），
即三元正整數(shù)有序組（a，b，c）的個數(shù)為70．

點(diǎn)評：此題考查了約數(shù)與倍數(shù)的知識．此題難度較大，根據(jù)題意能得到a，b，c都是形如：2^m•5ⁿ的數(shù)是解此題的關(guān)鍵．