Question

17．某企業(yè)為了增收節(jié)支，設(shè)計(jì)了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．經(jīng)過(guò)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，根據(jù)所描出的點(diǎn)猜想y是x的什么函數(shù)，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）
（3）為了支持希望工程，在實(shí)際的銷售過(guò)程中該公司決定每銷售一件工藝品就捐a（a＜4）元給希望工程，公司通過(guò)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單元價(jià)不超過(guò)51/件時(shí)，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨銷售單價(jià)x的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）描點(diǎn)，由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，任選兩點(diǎn)求表達(dá)式，再驗(yàn)證猜想的正確性；
（2）利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)=單件利潤(rùn)×銷售量．據(jù)此得表達(dá)式，運(yùn)用性質(zhì)求最值；
（3）設(shè)總利潤(rùn)為m元，根據(jù)條件可以得出每件工藝用品的利潤(rùn)為（x-20-a）元，再根據(jù)總利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)建立函數(shù)關(guān)系式即可

解答 解：（1）畫(huà)圖如圖；
由圖可猜想y與x是一次函數(shù)
設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0）
∵這個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（30，500）
（40，400）這兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{500=30k+b}\\{400=40k+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=800}\end{array}\right.$
∴函數(shù)關(guān)系式是：y=-10x+800（0≤x≤80）
（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000
∴當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值9000．
所以，當(dāng)銷售單價(jià)定為50元∕件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000元．
（3）設(shè)總利潤(rùn)為M元，則每件工藝用品的利潤(rùn)為（x-20-a）元，由題意，得
M=（-10x+800）（x-20-a），
=-10x²+10（100-a）x-16000-800a，
=-10（x-50-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{5}{2}$（100+a）²-16000-800a，
∵a=-10＜0，
∴拋物線的開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)M隨x的增大而增大．
∴x=50+$\frac{1}{2}$a時(shí)，M有最大值．
∵日銷售利潤(rùn)M隨銷售單價(jià)x的增大而增大，且x≤51，
∴50+$\frac{1}{2}$a≥51，
∴a≥2．
∵a＜4，
∴2≤a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，不等式的解法和運(yùn)用，解答時(shí)建立二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解是關(guān)鍵．