Question

1．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，連接AC．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC點(diǎn)D，當(dāng)線段PD的最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接PB，Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q做QF⊥PB交直線PB于點(diǎn)F．若Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，拋物線的對(duì)稱軸與AC交于點(diǎn)E，求t為何值時(shí)，EF=QE？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，令x=0，y=0，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先判斷出△PDE∽△AOC，得到PD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，再建立PE=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6-（x+6）=-$\frac{1}{2}$x²-3x，根據(jù)二次函數(shù)極值的確定方法即可；
（3）先求出直線PB解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3，再確定出QQ₁的解析式，求出它和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）令x=0，y=6，
∴A（0，6），
令y=0，-$\frac{1}{2}$x²-2x+6=0，
∴x₁=2，x₂=-6，
∴B（2，0），C（-6，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-6k+6=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=x+6，
（2）如圖，作PM∥y軸交AC于M，
∴∠PMA=∠CAO，
∵∠PDM=∠AOC=90°，
∴△PDM∽△AOC
∵OA=OC，
∴PD=DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM，
設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²-2x+6），
∴M（x，x+6），
∴PM=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6-（x+6）=-$\frac{1}{2}$x²-3x，
當(dāng)x=-3時(shí)，PM最長(zhǎng)，
把x=-3代入y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6=$\frac{15}{2}$，
∴P（-3，$\frac{15}{2}$）；
（3）如圖，過(guò)Q作QQ₁∥PB交拋物線對(duì)稱軸于H，交AC于I，
∵QF⊥PD，
∴QF⊥QQ₁，
∵EF=QE，
∴∠EFQ=∠EQF，
∴∠EFD=∠EQH，
∴點(diǎn)E是ID的中點(diǎn)，
∵B（2，0），P（-3，$\frac{15}{2}$）；
∴直線PB解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3，
∵直線AC解析式為y=x+6，
∴D（-$\frac{6}{5}$，$\frac{24}{5}$），
∵E（-2，4），
∴I（-$\frac{14}{5}$，$\frac{16}{5}$）
∵直線Q₁Q∥PB，且過(guò)I
∴Q₁Q解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-1，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{-1±\sqrt{57}}{2}$，
∴t=$\frac{-1+\sqrt{57}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，待定系數(shù)法，三角形的相似的性質(zhì)和判定，對(duì)稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式．