Question

1．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C、D是半圓的三等分點(diǎn)，延長AC，BD交于點(diǎn)E．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）點(diǎn)M為BE上一點(diǎn)，且滿足EM•EB=CE²，連接CM，求證：CM為⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）由半圓的三等分點(diǎn)，得$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，連接OC、OD，則∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，證得△AOC、△DOB為正三角形，得出∠EAB=∠EBA=60°，即可得出結(jié)果；（2）連接BC，由$\frac{EM}{CE}$=$\frac{CE}{EB}$，∠E=∠E，證得△CEM∽△BEC，由AB為⊙O的直徑，得出∠ACB=90°，∠ECB=90°，由△CEM∽△BEC得出∠EMC=∠ECB=90°，由∠AOC=∠DOB=60°，證得OC∥BE，證得∠OCM=90°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵C、D是半圓的三等分點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，
連接OC、OD，如圖1所示：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC=OD=OB，
∴△AOC、△DOB為正三角形，
∴∠EAB=∠EBA=60°，
∴∠E=60°；
（2）證明：連接BC，如圖2所示：
∵EM•EB=CE²，
∴$\frac{EM}{CE}$=$\frac{CE}{EB}$，
∵∠E=∠E，
∴△CEM∽△BEC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECB=90°，
∴∠EMC=∠ECB=90°，
∵∠AOC=∠DOB=60°，
∴OC∥BE，
∵∠EMC=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM為⊙O的切線．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、正三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．