Question

16．（1）拋物線m₁：y₁=a₁x²+b₁x+c₁中，函數(shù)y₁與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如表：

x	…	-2	-1	1	2	4	5	…
y1	…	-5	0	4	3	-5	-12	…

設(shè)拋物線m₁的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
（2）將設(shè)拋物線m₁沿x軸翻折，得到拋物線m₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂，則當(dāng)x=-3時(shí)，y₂=12．
（3）在（1）的條件下，將拋物線m₁沿水平方向平移，得到拋物線m₃．設(shè)拋物線m₁與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線m₃與x軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．過點(diǎn)C作平行于x軸的直線，交拋物線m₃于點(diǎn)K．問：是否存在以A，C，K，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形的情形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線m₁的解析式為y₁=-x²+2x+3，再配成頂點(diǎn)式可得到P點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的幾何變換得到拋物線m₁與拋物線m₂的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，然后利用頂點(diǎn)式寫出拋物線m₂的解析式，再計(jì)算自變量為-3時(shí)的函數(shù)值；
（3）先確定A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到四邊形AMKC為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方法，當(dāng)CA=CK時(shí)，四邊形AMKC為菱形，接著計(jì)算出AC=$\sqrt{10}$，則CK=$\sqrt{10}$，然后根據(jù)平移的方向不同得到K點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把（-1，0），（1，4），（2，3）分別代入y₁=a₁x²+b₁x+c₁得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}-_{1}+{c}_{1}=0}\\{{a}_{1}+_{1}+{c}_{1}=4}\\{4{a}_{1}+2_{1}+{c}_{1}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{_{1}=2}\\{{c}_{1}=3}\end{array}\right.$．
所以拋物線m₁的解析式為y₁=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則P（1，4），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則C（0，3）；
（2）因?yàn)閽佄锞�m₁沿x軸翻折，得到拋物線m₂，
所以y₂=（x-1）²-4，當(dāng)x=-3時(shí)，y₂=（x+1）²-4=（-3-1）²-4=12．
故答案為（1，4），（0，3），12；
（3）存在．
當(dāng)y₁=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線m₁沿水平方向平移，得到拋物線m₃，
∴CK∥AM，CK=AM，
∴四邊形AMKC為平行四邊形，
當(dāng)CA=CK時(shí)，四邊形AMKC為菱形，而AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，則CK=$\sqrt{10}$，
當(dāng)拋物線m₁沿水平方向向右平移$\sqrt{10}$個(gè)單位，此時(shí)K（$\sqrt{10}$，3）；當(dāng)拋物線m₁沿水平方向向左平移$\sqrt{10}$個(gè)單位，此時(shí)K（-$\sqrt{10}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的判定；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問題．