Question

16．某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)），這些薄板的形狀均為正方形，邊長(zhǎng)在（單位：cm）在5～50之間．每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張薄板的出廠價(jià)（單位：元）有基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無(wú)關(guān)，是固定不變的．浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長(zhǎng)成正比例．在營(yíng)銷(xiāo)過(guò)程中得到了表格中的數(shù)據(jù)．已知出廠一張邊長(zhǎng)為40cm的薄板，獲得的利潤(rùn)為26元．

薄板的邊長(zhǎng)（cm）	20	30
出廠價(jià)（元/張）	50	70

（1）求一張薄板的出廠價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若一張薄板的利潤(rùn)是34元，且成本最低，此時(shí)薄板的邊長(zhǎng)為多少？
（3）若限定薄板的邊長(zhǎng)不超過(guò)20cm，浮動(dòng)價(jià)下降a%，其他條件不變，薄板的利潤(rùn)隨邊長(zhǎng)的增加而增大時(shí)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①首先假設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為p元，它的成本價(jià)為mx²元，由題意，得：p=y-mx²，進(jìn)而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
②根據(jù)題意得出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的最值時(shí)的x的取值即可．

解答 解：（1）設(shè)一張薄板的邊長(zhǎng)為xcm，它的出廠價(jià)為y元，基礎(chǔ)價(jià)為n元，浮動(dòng)價(jià)為kx元，則y=kx+n．
由表格中的數(shù)據(jù)，$\left\{\begin{array}{l}{50=20k+n}\\{70=30k+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=10}\end{array}\right.$．
所以y=2x+10；

（2）設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為p元，它的成本價(jià)為mx²元，由題意，得：
p=y-mx²=2x+10-mx²，
將x=40，p=26代入p=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得：m=$\frac{1}{25}$，
所以p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10．
把P=34代入得，34=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10．
整理得，x²-50x+600=0，
解得x₁=20，x₂=30，
所以，一張薄板的利潤(rùn)是34元，且成本最低，此時(shí)薄板的邊長(zhǎng)為20cm；

（3）由題意，得：p′=2x×a%+10-$\frac{1}{25}$x²，
整理得，p′=-$\frac{1}{25}$x²+2a%x+10，
因?yàn)橄薅ū“宓倪呴L(zhǎng)不超過(guò)20cm，
所以x=-$\frac{2a%}{2×（-\frac{1}{25}）}$≤20，
解得a≤80，
所以a的取值范圍為：0＜a≤80；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值以及解一元二次方程等，根據(jù)題意列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．