Question

閱讀理解題：
已知：如圖1，△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上的任一點（不與B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求證：CD=PE+PF．
在解答這個問題時，小明與小穎的思路方法分別如下：
小明的思路方法是：過點P作PG⊥CD于G（如圖2），則可證得四邊形PEDG是矩形，也可證得△PCG≌△CPF，從而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
小穎的思路方法是：連接PA（如圖3），則S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，再由三角形的面積公式便可證得CD=PE+PF．
由此得到結論：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．
閱讀上面的材料，然后解答下面的問題：
（1）針對小明或小穎的思路方法，請選擇倆人中的一種方法把證明過程補充完整；
（2）如圖4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°AB=AD=CD=2，E是BC上任意一點，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，試利用上述結論求EM+EN的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）連接AP，根據S_△ABC=

1

2

AB•CD，S_△PAB=

1

2

AB•PE，S_△PAC=

1

2

AC•PF，即可解題；
（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，易求得BC的長，易求∠ABD=30°，即可求得∠CBD=30°，可得BE=2EM，同理可得CE=2EN，即可解題．

解答：證明：（1）連接AP，

∵S_△ABC=

1

2

AB•CD，S_△PAB=

1

2

AB•PE，S_△PAC=

1

2

AC•PF，S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，
∴

1

2

AB•CD=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF，
∵AB=AC，
∴CD=PE+PF；
（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，

∵∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，
∴CG=BF=1，
∴BC=BF+FG+CG=4，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=30°，
∴BE=2EM，同理CE=2EN，
∴EM+EN=

1

2

（BE+CE）=2．

點評：本題考查了三角形面積計算，考查了等腰梯形底角相等的性質，本題中求得BE=2EM和CE=2CN是解題的關鍵．