Question

14．已知x₁，x₂是一元二次方程x²-5x-3=0的兩個根，求：
（1）x₁²+x₂²
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式配方得出含有兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可；
（2）先通分計算，再整理得出含有兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²-5x-3=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=-3；
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=5²-2×（-3）
=25+6
=31；

（2）∵（x₂-x₁）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂
=31-2×（-3）
=37，
∴x₂-x₁=±$\sqrt{37}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\frac{\sqrt{37}}{3}$．

點評 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．