Question

4．如圖1，點A是直線HD上一點，C是直線GE上一點，B是直線HD、GE之間的一點，∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求證：AD∥CE；
（2）如圖2，作∠BCF=∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若2∠B-∠F=90°，求∠BAH的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若點P是AB上一點，Q是GE上任一點，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列結(jié)論：①∠APQ+∠NPM的值不變；②∠NPM的度數(shù)不變，其中有且只有一個是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求其值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過B作BH∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAB+∠1=180°，由已知條件得到∠+∠BCE=180°，根據(jù)平行線的判定得到BH∥CE，由平行公理的推論即可得到結(jié)論；
（2）首先設∠BAF=x°，∠BCF=y°，過點B作BM∥AD，過點F作FN∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，又由2∠B-∠F=90°，可得方程：90-（x+2y）=180-2（2x+y），繼而求得答案．
（3）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MPQ=∠PQR=$\frac{1}{2}$∠PQG，然后根據(jù)∠APQ=∠PAH+∠PQG，列式表示出∠NPM=$\frac{1}{2}$∠APQ-$\frac{1}{2}$∠PQG=$\frac{1}{2}$（∠APQ-∠PQG）=$\frac{1}{2}$∠PAH=30°，從而判定②正確．

解答 （1）證明：如圖1，過B作BM∥AD，
∴∠DAB+∠1=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠2+∠BCE=180°，
∴BM∥CE，
∴AD∥CE；

（2）解：設∠BAF=x°，∠BCF=y°，
∵∠BCF=∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，
∴∠HAF=∠BAF=x°，∠BCG=∠BCF=y°，∠BAH=2x°，∠GCF=2y°，
如圖2，過點B作BM∥AD，過點F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，
∴∠AFN=∠HAF=x°，∠CFN=∠GCF=2y°，∠ABM=∠BAH=2x°，∠CBM=∠GCB=y°，
∴∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，
∵2∠B-∠F=90°，
∴90-（x+2y）=180-2（2x+y），
解得：x=30，
∴∠BAH=60°．

（3）如圖3，
由（1）可知∠APQ=∠PAH+∠PQG，
∴∠PAH=∠APQ-∠PQG，
∵QR平分∠PQR，PM∥QR，
∴∠MPQ=∠PQR=$\frac{1}{2}$∠PQG，
∵PN平分∠APQ，
∴∠NPM=$\frac{1}{2}$∠APQ-$\frac{1}{2}$∠PQG=$\frac{1}{2}$（∠APQ-∠PQG）=$\frac{1}{2}$∠PAH，
∵點P是AB上一點，
∴∠PAH=60°，
∴∠NPM=30°；
∴①∠APQ+∠NPM的值隨∠DGP的變化而變化；②∠NPM的度數(shù)為30°不變．

點評 本題考查了角平分線的定義，平行線性質(zhì)和判定：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．此題考查了平行線的性質(zhì)與判定以及余角、補角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用，理清各角度之間的關系是解題的關鍵，也是本題的難點．