Question

3．A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以3厘米每秒的速度向點B移動，一直到達點B為止，點Q以2厘米每秒的速度向點D移動．
（1）經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？
（2）經(jīng)過多長時間，四邊形APQD是矩形？
（3）P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，在AB上存在一點M，使△PMQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥CD，垂足為H，設(shè)運動時間為t秒，用t表示線段長，用勾股定理列方程求解；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AP=DQ，即可求出t的值；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出PQ=PM，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，
作PH⊥CD，垂足為H，

則PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，
∵PH²+HQ²=PQ²
可得：（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8，t₂=1.6．
答：P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過1.6或4.8秒時，點P，Q間的距離是10cm

（2）要使APQD是矩形，必須AP=DQ，
即3t=16-2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$，
即經(jīng)過$\frac{16}{5}$s時，四邊形APQD是矩形；

（3）如圖2，

過Q作QN⊥AB于N，
∵△PQM是等邊三角形，
∴PQ=PM，
∵AP=3t，CQ=BN=2t，
∴PN=MN=16-3t-2t=16-5t，
∵PQ=PM，
∴PQ²=PM²，
∴6²+（16-5t）²=（16-5t+16-5t）²，
解得：t=$\frac{16±2\sqrt{3}}{5}$，
所以P、Q兩點從出發(fā)開始$\frac{16±2\sqrt{3}}{5}$秒時，在AB上存在一點M，使△PMQ為等邊三角形．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，一元二次方程的運用，利用作垂線，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．