Question

4．如圖已知AB是⊙O的直徑，AB=10，點C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，點E在⊙O外，∠EAC=∠D．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得出∠BCA=90°，∠D=∠B，求出∠B+∠BAC=90°，∠EAC=∠B，推出∠EAC+∠BAC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）連接BD，進而利用勾股定理得出AD的長．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠D=∠B，∠EAC=∠D，
∴∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
∴BA⊥AE，
∵BA過O，
∴直線AE是⊙O的切線；

（2）解：連接BD，
∵∠BCD=∠DCA，
∴BD=AD，
∵AB=10，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，能求出BA⊥AE是解此題的關(guān)鍵，注意：經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．