Question

11．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E為AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連結(jié)AD，下列說法：①∠BCE=∠ACD； ②△ACD∽△BCE； ③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為$\frac{3}{8}$．其中正確的結(jié)論是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠DCE=45°，從而得到∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，進而得到結(jié)論：∠ECB=∠DCA正確；
②利用兩對角對應(yīng)相等的三角形相似證得結(jié)論△ACD∽△BCE即可；
④證得△BEC∽△ADC后得到∠DAC=∠B=45°，從而得到∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC；
③由④知：△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；
⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長時，BE也最長；故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，從而判定是否正確即可；

解答 解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正確；
②∵△ABC與△CDE，均為等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠ADC=∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，
故②正確；
④∵$\frac{CD}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{BC}$；
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；
③由④知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；
⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長時，BE也最長；
故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$；
故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，故⑤正確；
因此本題正確的結(jié)論是①②④⑤，
故答案為：①②④⑤．

點評 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度較大．