Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的角平分線AD、BE交于I，AD交BC于D，BE交AC于E，若△AIB的面積為6，則四邊形ABDE的面積為

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：在AB上截取AF=AE，BG=BD，連接IF、IG，過點E作EM⊥AD于點M，過點G作GN⊥IF于點N，易證△AIE≌△AIF，△BID≌△BIG，根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可求得∠AIB=90°+

1

2

∠ABC=135°，然后求出∠AIE、∠AIF、∠FIG的度數(shù)，然后根據(jù)正弦定理求出△EID和△FIG的面積，最后即可求出四邊形ABDE的面積．

解答：解：在AB上截取AF=AE，BG=BD，連接IF、IG，過點E作EM⊥AD于點M，過點G作GN⊥IF于點N，
在△AIE和△AIF中，

AE=AF ∠EAI=∠FAI AI=AI

，
∴△AIE≌△AIF（SAS），
同理可得：△BID≌△BIG，
∵點I是角平分線AD、BE的交點，
∴點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠AIB=90°+

1

2

∠ABC=135°，
∴∠AIE=∠BID=180°-∠AIB=45°，
∴∠AIF=∠AIE=∠BID=∠BIG=45°，
∴∠FIG=135°-45°-45°=45°，
∴S_△EID=

1

2

ID•EM=

1

2

EI•IDsin45°，
S_△FIG=

1

2

IF•GN=

1

2

IF•IGsin45°，
∴S_△EID=S_△FIG，
∴S_{四邊形ABDE}=S_△EID+S_△AIE+S_△AIB+S_△BID
=S_△FIG+S_△AIF+S_△BIG+S_△AIB
=2S_△AIB
=12．
故答案為：12．

點評：本題考查了面積及等積變換，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，利用三角形的等積變換求出四邊形ABDE的面積，難度較大．