Question

7．如圖，AD和BE是△ABC的角平分線且交于點O，連接OC，現(xiàn)有以下論斷：
①OD⊥BC；
②∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC；
③OA=OB=OC；
④OC平分∠ACB；
⑤∠AOE+∠DCO=90°
其中正確的有②④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可對①進行判斷；利用三角形的角平分線相交于一點可對④進行判斷；根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可對③進行判斷；根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和可對②⑤進行判斷．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分線，
∴AD不一定垂直BC，所以①錯誤；
∵AD和BE是△ABC的角平分線，
∴CO平分∠BOC，所以④正確；
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠BCA=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC，所以②正確；
∵點O為△ABC的內(nèi)心，
∴OB、OC、OD不一定都相等，所以③錯誤；
∵∠AOE=∠OBA+∠OAB，
∴∠AOE+∠DCO=∠OBA+∠OAB+∠DCO=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，所以⑤正確．
故答案為②④⑤．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．記住三角形內(nèi)角和是180°