Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)M在AC上，CM=2cm，AM=BC=6cm，過點(diǎn)A（與BC在AC同側(cè)）作射線AN⊥AC，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AN勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1cm/秒，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=

 

秒時(shí)，△ABC≌△PMA；
（2）在（1）的條件下，求證：AB⊥PM；
（3）連接BP，是否存在某個(gè)t的值，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）由于BC=AM，∠BCA=∠MAP，根據(jù)“SAS”，當(dāng)AP=CA時(shí)可判斷△ABC≌△PMA；易得t=8（s）；
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得∠APM=∠CAB，由于∠CAB+∠BAP=90°，所以∠APM+∠BAP=90°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和得∠ADP=90°，于是根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論；
（3）在△ABC中，∠C=90°利用勾股定理計(jì)算出AB=10，作BH⊥AN于N，則四邊形AHBC為矩形，則AH=BC=6，BH=AC=8，然后分類討論：當(dāng)AP=AB時(shí)，△ABP是等腰三角形，易得t=10（s）；當(dāng)BP=BA時(shí)，△ABP是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BH=PH，則AP=2AH=12，即可得到t=12（s）；當(dāng)AP=PB時(shí)，△ABP是等腰三角形，則PB=t，所以PH=t-6，在Rt△PBH中利用勾股定理得到（t-6）²+8²=t²，解得t=

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．

解答：（1）解：∵BC=AM，∠BCA=∠MAP，
∴當(dāng)AP=CA時(shí)，△ABC≌△PMA；
即t=8（s）；
故答案為8；
（2）證明：∵△ABC≌△PMA，
∴∠APM=∠CAB，
而∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠APM+∠BAP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴AB⊥PM；
（3）解：存在．
在△ABC中，∠C=90°，∵BC=6，AC=8，
∴AB=

BC2+AC2

=10，
作BH⊥AN于N，則四邊形AHBC為矩形，
∴AH=BC=6，BH=AC=8，
當(dāng)AP=AB時(shí)，△ABP是等腰三角形，所以t=10（s）；
當(dāng)BP=BA時(shí)，△ABP是等腰三角形，則BH=PH，所以AP=2AH=12，所以t=12（s）；
當(dāng)AP=PB時(shí)，△ABP是等腰三角形，則PB=t，所以PH=t-6，
在Rt△PBH中，∵PH²+BH²=PB²，
∴（t-6）²+8²=t²，解得t=

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，
綜上所述，當(dāng)t為10s或12s或

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s時(shí)，使得△ABP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了等腰三角形．