Question

8．為了解甲、乙兩種車的剎車距離，經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，甲車的剎車距離s_甲是車速v的$\frac{1}{5}$，乙車的剎車距離s_乙等于反應(yīng)距離與制動距離之和，二反應(yīng)距離與車速v成正比，制動距離與車速v²成正比，具體關(guān)系如下表：

車速v（km/h）	40	50
剎車距離s乙（m）	12	17.5

（1）分別求出s_甲、s_乙與車速v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若乙車在限速120km/h的高速公路上行駛，乙車的最長剎車距離是多少m？
（3）剎車速度是處理交通事故的一個重要因素，請看下面一個交通事故案例：甲、乙兩車在限速為80km/g的道路上相向而行，等望見對方，同時剎車時已晚，兩車還是相撞了，事后經(jīng)現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離超過16m，但小于18m，乙車的剎車距離是24m，請你比較兩車的速度，并判斷哪輛車超速？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“甲車的剎車距離s_甲是車速v的$\frac{1}{5}$”可以求得s_甲與車速v的函數(shù)關(guān)系式．設(shè)s_乙=k₁v+k₂v²，把（40，12），（50，17.5）分別代入該函數(shù)解析式，列出關(guān)系系數(shù)的方程組，通過解方程組求得它們的值；
（2）利用（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合拋物線的性質(zhì)來求其頂點坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式可以求得甲、乙的速度．然后結(jié)合限速80km/h判定它們是否超速．

解答 解：（1）依題意得：s_甲=$\frac{1}{5}$v，
∵反應(yīng)距離與車速v成正比，制動距離與車速v²成正比
∴設(shè)s_乙=k₁v+k₂v²，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{12=40{k}_{1}+1600{k}_{2}}\\{17.5=50{k}_{1}+2500{k}_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{10}}\\{{k}_{2}=\frac{1}{200}}\end{array}\right.$，
∴s_乙=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{1}{10}$v；               
      
（2）∵對稱軸為v=-$\frac{\frac{1}{10}}{2×\frac{1}{200}}$=-10，
∴當(dāng)0＜v≤120 時，s_乙隨v的增大而增大，即當(dāng)v=120時，s_乙最大值=$\frac{1}{200}$×14400+$\frac{1}{10}$×120=84
∴乙車的最長剎車距離為84米．
（只要合理解釋“當(dāng)v=120時，s_乙最大”均可）

（3）∵甲車的剎車距離超過16m，但小于18m，
∴16＜$\frac{1}{5}$v＜18，
即80＜v＜90，
又∵乙車的剎車距離是24m
∴$\frac{1}{200}$v²+$\frac{1}{10}$v=24，
解得v₁=60，v₂=-80 （舍去），
∵限速80km/h
∴甲車超速．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．