Question

7．如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限的分支上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰直角△ABC，點(diǎn)C在第四象限．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上運(yùn)動，則k的值是-4．

Answer 1

分析 連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的對稱性可得知點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OC=OA，從而可得出△AOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出關(guān)于k的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可求出k值．

解答 解：連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵線段AB過原點(diǎn)O，且反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)．
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OC=OA．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠AOE=∠COF．
在△AOE和△COF中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO=90°}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴有$\frac{1}{2}$×4=$\frac{1}{2}$|k|，
解得：k=±4．
∴點(diǎn)C在第四象限，
∴k=-4．
故答案為：-4．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出$\frac{1}{2}$×4=$\frac{1}{2}$|k|．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)三角形面積間的關(guān)系結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出關(guān)于k的方程是關(guān)鍵．