Question

求自然數(shù)N，使得它能倍5和49整除，并且有10個約數(shù)（包括1和本身）

Answer 1

分析：設(shè)N=5×49×M，則N=5×7²×M，所以5的個數(shù)至少是2個，7的個數(shù)至少是3個，這時由5和7組成的約數(shù)的個數(shù)是：2×3=6，不是10的因數(shù)，所以需要再把7的因數(shù)的總個數(shù)由3個變?yōu)?個，因此，M=7²，這時N=5×7²×7²=N=5×7⁴，那么N的約數(shù)的個數(shù)是：（1+1）÷（4+1）=10；符合要求，所以N=5×7⁴=12005；據(jù)此解答．

解答：解：根據(jù)分析可得，
設(shè)N=5×49×M，則N=5×7²×M，
所以5的個數(shù)至少是2個，7的個數(shù)至少是3個，這時由5和7組成的約數(shù)的個數(shù)是：2×3=6，不是10的因數(shù)，
所以需要再把7的因數(shù)的總個數(shù)由3個變?yōu)?個，
因此，M=7²，這時N=5×7²×7²=N=5×7⁴，
那么N的約數(shù)的個數(shù)是：（1+1）÷（4+1）=10；符合要求，
所以，N=5×7⁴=12005．

點評：此題主要考查一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算公式的逆用：a=p^α×q^β×r^γ（其中a為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則a的約數(shù)共（α+1）（β+1）（γ+1）個約數(shù)．