Question

有些數(shù)既能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．例如：105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．請(qǐng)問(wèn)：在1至1000中一共有多少個(gè)滿足上述要求的數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字和問(wèn)題

專(zhuān)題：競(jìng)賽專(zhuān)題

分析：該數(shù)能表示連續(xù)5個(gè)自然數(shù)的和，說(shuō)明該數(shù)能夠被5整除；該數(shù)能表示成連續(xù)7個(gè)自然數(shù)的和，說(shuō)明該數(shù)能夠被7整除；該數(shù)能夠表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，假設(shè)4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別為：A，A+1，A+2，A+3，A+4，
A+5，六個(gè)數(shù)之和為6A+15，可見(jiàn)該數(shù)能夠被3整除，但不能被6整除．據(jù)此特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．

解答： 解：根據(jù)平均數(shù)的知識(shí)可知：
該數(shù)能表示連續(xù)5個(gè)自然數(shù)的和，說(shuō)明該數(shù)能夠被5整除；
該數(shù)能表示成連續(xù)7個(gè)自然數(shù)的和，說(shuō)明該數(shù)能夠被7整除；
該數(shù)能夠表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，
假設(shè)4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別為：A，A+1，A+2，A+3，A+4，
A+5，六個(gè)數(shù)之和為6A+15=3×（2A+5），
可見(jiàn)該數(shù)能夠被3整除，但不能被6整除．
由此可知：
該數(shù)必然能同時(shí)被3，5，7整除，但不能同時(shí)被6，7，5整除，
因此該數(shù)是105的倍數(shù)但不是210的倍數(shù)．
在1至1000之間能夠被105整除而不能被210整除的數(shù)字有：
105，315，525，735，945．共計(jì)5個(gè)符合要求的數(shù)．
答：符合要求的數(shù)是105，315，525，735，945．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平均數(shù)的知識(shí)得出此類(lèi)數(shù)數(shù)必然能同時(shí)被2，3，5整除，但不能同時(shí)被4，3，5整除是完成本題的關(guān)鍵．