Question

黑板上有11個1，22個2，33個3，44個4，做以下操作：每次擦掉3個不同的數(shù)字，并且把沒擦掉的第四種數(shù)字多寫2個．例如：某次操作擦掉1個1，1個2，1個3，那就在寫上2個4，經(jīng)過若干次操作后，黑板上只剩下3個數(shù)字，而且無法繼續(xù)進行操作，那么最后剩下的三個數(shù)字的乘積是

12

．

Answer 1

分析：本題屬于操作問題，倒推最簡單情況，黑板上只剩下3個數(shù)字，而且無法按規(guī)定繼續(xù)進行操作，只有兩種情況2個a，一個b，或3個a．我們根據(jù)規(guī)則進行操作，當(dāng)剩下3個數(shù)字，無法繼續(xù)進行操作，問題得解．

解答：解：本題列表推理如下：

最后剩下了2個2，一個3，它們的積是：
2×2×3=12；
故答案為：12．

點評：本題還可以這樣解：
無論如何操作，任意兩種數(shù)的個數(shù)差只有“不變”、“多3”和“少3”三種情況（如1和2的個數(shù)：要么同時減少一個，個數(shù)差不變；要么1的個數(shù)增加2個，2的個數(shù)少一個，個數(shù)差多3；要么1的個數(shù)減少1個，2的個數(shù)加2個，個數(shù)差少3）．也就是說：任意兩個數(shù)的個數(shù)差，同余3．
用2的個數(shù)減去1的個數(shù)，22-11=11，11除3余2，即當(dāng)數(shù)字2的個數(shù)比1的個數(shù)多時，他們的差一定是除3余2；但如果數(shù)字1的個數(shù)比2多的話，那么這個差除3余1．
根據(jù)這個特性，容易發(fā)現(xiàn)1和4的個數(shù)差是33，是3的倍數(shù)，即：最后剩下的1的個數(shù)和4的個數(shù)要么一樣多，要么個數(shù)差3．如果1的個數(shù)為3，那么2的個數(shù)必然為2，不合題意；如果3的個數(shù)為3，而1和2不可能同時為0個，也不合題意；所以最后時，1的個數(shù)和4的個數(shù)都只能為0，而2的個數(shù)一定是2，那么3的個數(shù)就是1，所以剩下的三個數(shù)是2個2和1個3，乘積是12．