Question

互不相等的12個(gè)自然數(shù)，它們均小于36．有人說(shuō)，在這些自然數(shù)兩兩相減（大減小）所得到的差中，至少有3個(gè)相等．你認(rèn)為這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

Answer 1

分析：先假設(shè)這12個(gè)數(shù)的最多有2個(gè)數(shù)的差相等，找出這12個(gè)數(shù)的差最小時(shí)的和；這個(gè)和與最大數(shù)減去最小數(shù)的差相等，從中找出矛盾，證明結(jié)論、

解答：解：設(shè)這12個(gè)自然數(shù)從小到大依次為a₁，a₂，a₃，…，a₁₂，且它們兩兩相減最多只有2個(gè)差相等；
那么差為1，2，3，4，5的都最多只有2個(gè)．
從而a₁₂-a₁₁，a₁₁-a₁₀，a₁₀-a₉，…，a₂-a₁，
這11個(gè)差之和至少為：2×（1+2+3+4+5）+6=36，
但這11個(gè)差之和等于a₁₂-a₁；
而a₁₂-a₁＜36．這一矛盾說(shuō)明，兩兩相減的差中，至少有3個(gè)相等．
所以這個(gè)人的說(shuō)法是正確的．

點(diǎn)評(píng)：本題利用反證法，假設(shè)沒(méi)有3個(gè)差相等，找出矛盾，從而得以證明．