Question

設(shè)n是滿足下列條件的自然數(shù)，它們是75的倍數(shù)且恰好有75個(gè)自然數(shù)因數(shù)（包括1和本身），求

n

75

的最小值．

Answer 1

分析：因75=3×5×5=15×5=3×25=1×75，恰有75個(gè)自然數(shù)因數(shù)的n具有這樣的形式，n=p²q⁴r⁴或n=p¹⁴q²⁴或p⁷⁴，其中p，q，r是質(zhì)數(shù)，由n是75的倍數(shù)，則p，q，r有一個(gè)是3，另一個(gè)是5，且是5的因數(shù)的冪不小于2，為使n最小，只能是n=5²×3⁴×2⁴，據(jù)此解答．

解答：解：n=5²×3⁴×2⁴，
=25×81×16，
=32400，

n

75

=

32400

75

=432．
答：最小值是432．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是求出這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)．