Question

（2013?北京模擬）有一個(gè)不等于0的自然數(shù)，它的

1

2

是一個(gè)立方數(shù)，它的

1

3

是一個(gè)平方數(shù)，則這個(gè)數(shù)最小是

432

．

Answer 1

分析：有一個(gè)不等于0的自然數(shù)，它的

1

2

是一個(gè)立方數(shù)，說明這個(gè)數(shù)是2的倍數(shù)，不妨設(shè)為2x³；它的

1

3

是一個(gè)平方數(shù)，不妨設(shè)為3y²；則有2x³=3y²（x、y都是自然數(shù)），由此可繼續(xù)推出x也是3的倍數(shù)，y是2的倍數(shù)，依次進(jìn)行分析，找到問題的答案．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)所求的數(shù)是2x³=3y²，x，y都是不為0的自然數(shù)；
則3|x，2|y，
不妨設(shè)x=3m，y=2n，代入上式可得，
54m³=12n²，9m³=2n²；
仿照上面，會(huì)設(shè)出m=2p，n=3q，則有4p³=q²；
這個(gè)方程的最小正整數(shù)解是p=1，q=2；
∴m=2，n=6；
進(jìn)一步得出x=6，y=12；
故2x³=432為所求的最小數(shù)．故答案為：432．

點(diǎn)評(píng)：此題主要抓住自然數(shù)為立方數(shù)和平方數(shù)的特點(diǎn)，以及被2和3整除數(shù)的表示方法，一步步探究出問題的答案．