Question

一個(gè)正整數(shù)，它的5倍的約數(shù)比它的約數(shù)多5個(gè)．并且它與10!（即1×2×3×…×10）的最大公約數(shù)是35．這個(gè)正整數(shù)是______．

Answer 1

設(shè)這個(gè)數(shù)為a，
則這個(gè)數(shù)a的因數(shù)中一定有5和7，
且因數(shù)5的個(gè)數(shù)只能有一個(gè)，否則與10的階乘矛盾，
所以這個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)個(gè)，那么它的5倍的數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)多5個(gè)，
它的5倍的數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)個(gè)，
可得：它的5倍的數(shù)是完全平方數(shù)，所這個(gè)數(shù)的因數(shù)7一定至少有2個(gè)，
又因a=5^m×7ⁿ×k，
2×5=10，
即（1+1）×（4+1）=10，
所以m=1，n=4，k=1，則a=5×7⁴=12005，
通過(guò)檢驗(yàn)可得a=5×7⁴=12005，（因數(shù)的個(gè)數(shù)是10個(gè)）；
5a=5²×7⁴=60025，（因數(shù)的個(gè)數(shù)是15），符合要求；
答：這個(gè)正整數(shù)是12005．
故答案為：12005．