Question

小明訓練上樓梯賽跑，他每步可上2階或3階（不上1階），那么小明上12階樓梯的不同上法有

12

種．

Answer 1

分析：如果設小明上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數．根據已知條件，他每步可上2階或3階樓梯（不上1階），易知a₁=0，a₂=1，a₃=1．考察a_n：把上n階樓梯的方法分成兩類，第一類是最后一步邁大步上3階樓梯的上法，第二類是最后一步邁小步上2階樓梯的上法，由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數之和．第一類上法應先到達第（n-3）階，再一步“登頂”，有a_n-3種方法；第二類上法應先到達第（n-2）階，再一步“登頂”，有a_n-2種方法，于是得到遞推關系式：a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．據此求出a₁₂的值．

解答：解：設小明上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數，則a₁=0，a₂=1，a₃=1．
由加法原理知a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．
遞推可得a₄=a₂+a₁=1，
a₅=a₃+a₂=2，
a₆=a₄+a₃=2，
a₇=a₅+a₄=3，
a₈=a₆+a₅=4，
a₉=a₇+a₆=5，
a₁₀=a₈+a₇=7，
a₁₁=a₉+a₈=9，
a₁₂=a₁₀+a₉=12．
答：小明上12階樓梯的不同上法有12種．
故答案為：12．

點評：本題是規(guī)律性題目，主要考查了加法原理的應用，屬于競賽題型，有一定難度．解答此題的關鍵是能夠根據所給的條件，分析出上n階樓梯的方法有兩類，而由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數之和．