Question

用寫有+1和-1的長(zhǎng)方塊放在10×n方格中，使得每一列和每一行的數(shù)的乘積都是正的，n的最小值是多少？

Answer 1

分析：由題意可得：每一列，每一行的-1的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，所以，整個(gè)方格中的-1的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，而-1的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方塊的個(gè)數(shù)．所以可設(shè)有2m個(gè)長(zhǎng)方塊．每個(gè)長(zhǎng)方塊占2個(gè)格．當(dāng)長(zhǎng)方塊放滿的時(shí)候，10n=4m，5n=2m，所以n=2k，m=5k，k=1，2，3，…然后從最小的2開(kāi)始進(jìn)行討論，得出符合題意的答案．

解答：解：每一列，每一行的-1的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，所以，整個(gè)方格中的-1的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，而-1的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方塊的個(gè)數(shù)．所以可設(shè)有2m個(gè)長(zhǎng)方塊．每個(gè)長(zhǎng)方塊占2個(gè)格．
當(dāng)長(zhǎng)方塊放滿的時(shí)候，10n=4m，5n=2m，所以n=2k，m=5k，k=1，2，3，…
最小的n=2，但是，若n=2，m=5，長(zhǎng)方塊不能水平放置，豎直放置5個(gè)長(zhǎng)方塊，每一列恰好5個(gè)-1，不可能滿足要求的情況．
n=4，m=10，如圖．每個(gè)長(zhǎng)方塊都是水平放置+1，在左邊，-1在右邊即可．

答：n的最小值是4．

點(diǎn)評(píng)：由題意得出：每一列，每一行的-1的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，所以，整個(gè)方格中的-1的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，而-1的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方塊的個(gè)數(shù)，是解題關(guān)鍵．