Question

拓展訓(xùn)練
三角形ABC內(nèi)部有1999個點，以頂點A，B，C和這1999個點為頂點能把原三角形分割成多少個小三角形？

Answer 1

考點：組合圖形的計數(shù)

專題：幾何的計算與計數(shù)專題

分析：因為此題點數(shù)較多，這就要求我們尋找規(guī)律，可以通過分情況：（1）若點P_n在某個小三角形的內(nèi)部，如圖1-73（a），（2）若點P_n在某兩個小三角形公共邊上，如圖1-73（b）．來尋找規(guī)律求解．

解答： 解：設(shè)△ABC內(nèi)部的n-1個點能把原三角形分割成a_n-1個小三角形，我們考慮新增加一個點P_n之后的情況：
（1）若點P_n在某個小三角形的內(nèi)部，如圖（a），則原小三角形的三個頂點連同P_n將這個小三角形一分為三，即增加了兩個小三角形；
（2）若點P_n在某兩個小三角形公共邊上，如圖（b）．則這兩個小三角形的頂點連同點P_n將這兩個小三角形分別一分為二，即也增加了兩個小三角形．
所以，△ABC內(nèi)部的n個點把原三角形分割成的小三角形個數(shù)為a_n=a_n-1+2．
易知a₀=1，于是a₁=a₀+2 a₂=a₁+2 …a_n=a_n-1+2
將上面這些式子相加，得a_n=2n+1．
所以，當(dāng)n=1999時，三個頂點A，B，C和這1999個內(nèi)點能把原三角形分割成2×（1999+1=3999個小三角形．

點評：本題主要考查了三角形的認(rèn)識，按正確的順序計算三角形的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．