Question

從正方形的頂點(diǎn)及各邊中點(diǎn)這八個點(diǎn)選取三個點(diǎn)，可組成

20

個等腰三角形．

Answer 1

分析：可用分類計數(shù)原理去做，按照選點(diǎn)的不同，分為三類，第一類：從正方形的四頂點(diǎn)中選三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，第二類：從正方形的四邊中點(diǎn)中選三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，第三類：從正方形的四邊中點(diǎn)中選兩個點(diǎn)，四頂點(diǎn)中選一個點(diǎn)作三角形，或從正方形的四頂點(diǎn)中選兩個點(diǎn)，從正方形的四邊中點(diǎn)中選一個點(diǎn)作三角形，再把每類方法數(shù)相加，可得總的方法數(shù)．

解答：解：按題意可分三類．
第一類：從正方形的四頂點(diǎn)中選三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，則全為等腰三角形，共有C₄³=4種．
第二類：從正方形的四邊中點(diǎn)中選三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，則全為等腰三角形，共有C₄³=4種，
第三類：從正方形的四邊中點(diǎn)中選兩個點(diǎn)，四頂點(diǎn)中選一個點(diǎn)作三角形，則每兩個中點(diǎn)只能和它們所在邊交點(diǎn)，或另兩條邊交點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，或從正方形的四頂點(diǎn)中選兩個點(diǎn)，從正方形的四邊中點(diǎn)中選一個點(diǎn)作三角形，共有2C₄²=12種．
最后三類方法數(shù)相加得：4+4+12=20種．
故答案為：20．

點(diǎn)評：本題考查了分類原理在排列求和問題中的應(yīng)用，注意分類依據(jù)，要做到不重不漏．