Question

圓周上放有N枚棋子，如圖所示，B點(diǎn)的-枚棋子緊鄰A點(diǎn)的棋子．小洪首先拿走B點(diǎn)處的l枚棋子，然后順時(shí)針每格一枚拿走2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次 越過(guò)A．當(dāng)將要第10次越過(guò)A處棋子取走其它棋子時(shí)，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子．若N是l4的倍數(shù)，請(qǐng)幫肋小洪精確計(jì)算一下圓周上還有多少枚棋子？

Answer 1

分析：設(shè)圓周上余a枚棋子，從第9次越過(guò)A處拿走2枚棋子到第10次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，小洪拿走了2a枚棋子，所以在第9次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子．依此類(lèi)推，在第8次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有3²a枚棋子，…，在第1次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有3⁹a枚棋子，在第1次將要越過(guò)A處棋子之前，小洪拿走了2（3⁹a-1）+1枚棋子，所以N=2（3⁹a-1）+1+3⁹a=3¹⁰a-1．
N=3¹⁰a-1=59049a-1是14的倍數(shù)．N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；又N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必須是7的倍數(shù)．當(dāng)a=21，25，27，29時(shí)，4a-1不是7的倍數(shù)，當(dāng)a=23時(shí)，4a-1=91=7×13，是7的倍數(shù)．

解答：解：設(shè)圓周上余a枚棋子，小洪拿走了2（3⁹a-1）+1枚棋子，
所以N=2（3⁹a-1）+1+3⁹a=3¹⁰a-1．
N=3¹⁰a-1=59049a-1是14的倍數(shù)．N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；
又N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1，
所以4a-1必須是7的倍數(shù)．當(dāng)a=21，25，27，29時(shí)，4a-1不是7的倍數(shù)，
當(dāng)a=23時(shí)，4a-1=91=7×13，是7的倍數(shù)．
答：圓周上還有23枚棋子．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈，采用逆向推導(dǎo)法解決問(wèn)題．