Question

馬拉松賽跑的路線上，等距離設置了若干個飲水站和等距離設置了16個醫(yī)療站，起點和終點都設有飲水站和醫(yī)療站，且起點和終點不同．若每個站安排一個值班員，兩站重合的也只安排一個值班員，那么一共要安排了46個值班員，且在途中確有醫(yī)療站與飲水站重合，也有醫(yī)療站不與飲水站重合．那么最多有多少個飲水站？

Answer 1

分析：把路線變成一個圈，避免+1和-1的麻煩，則起點和終點重合，共有15個醫(yī)療站，45個值班員，如果有x個飲水站，則恰x與15的最大公約數個飲水站與醫(yī)療站重合，值班員的個數即可表示出來，再根據x的取值受限，即可求出答案．

解答：解：把路線變成一個圈，避免+1和-1的麻煩，則起點和終點重合，共有15個醫(yī)療站，45個值班員，
設有x個飲水站，則恰有x與15的最大公約數個飲水站與醫(yī)療站重合，
共有15+x-（x與15的最大公約數）個值班員，
也就是說15+x-（x與15的最大公約數）=45，
x-（x與15的最大公約數）=30，
因為x與15的最大公約數是15，
所以x與15的最大公約數可以取1，3，5，15，
相應x分別為31，33，35，45，
因為有醫(yī)療站不與飲水站重合，所以45不符合題意，最大是35，
再把起點和終點分開，就是36；
答：最多有36個飲水站．

點評：解答此題的關鍵是，根據題意找出數量關系，利用取值受限，即可解答．