Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)在點處的切線方程；

(2)討論的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時， 在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）

【解析】試題分析：(1) 求得,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；(2)分時， 時兩種情況討論，求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）時， 時， 時，分別求出，令即可得到的取值范圍.

試題解析：(1) 時， ，

∴，故切點為.

又，∴，

故切線方程為，即.

(2) ，

當時， ，此時在上單調(diào)遞減；

當時，令得， (舍)，

當時， ；當時， ，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當時， 在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）由(2)知：當時， 在上單調(diào)遞減， ，

此時在上無零點；

當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，解得.

∴，此時在上無零點；

當時， 在上單調(diào)遞增， ，無解.

綜上所述， .

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.