Question

19．如圖所示，在一條河流的北側(cè)，有A，B兩處牧場，每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后，折到B處放牧吃草．請問，飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路程最短？

Answer 1

分析 將河流看作直線l（如圖所示）．設(shè)羊群在河邊的飲水點(diǎn)為C′，作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B由兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系即可求解．

解答 解：將河流看作直線l（如圖所示）
．
設(shè)羊群在河邊的飲水點(diǎn)為C′，則羊群行走路程為AC′+C′B．
設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A′，由對稱性知C′A′=C′A．
因此，羊群行走的路程為A′C′+C′B．
線段A′C′與C′B是連接點(diǎn)A′與點(diǎn)B之間的折線．由線段的基本性質(zhì)知，連接點(diǎn)A′與點(diǎn)B之間的線中，線段A′B最短．設(shè)線段A′B與直線l交于C．那么，C點(diǎn)就是所選的最好的飲水地點(diǎn)．
作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′．連接B，A′，并設(shè)線段BA′與l交于C．設(shè)C′是l上不同于C的另外一點(diǎn)，只要證明AC′+C′B＞AC+CB①即可．
利用線段基本性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性知：AC′=C′A′及CA=CA′，
所以AC′+C′B=C′A′+C′B，AC+CB=CA′+CB=A′B．
而C′A′與C′B是連接A′，B的折線，而A′B則是連接這兩點(diǎn)之間的線段，
所以C′A′+C′B＞A′B=A′C+CB=AC+CB，
從而①成立，即選擇C點(diǎn)作為羊群的飲水點(diǎn)，羊群的行程最短．

點(diǎn)評 本題考查的是兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是河流看作直線l，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答