Question

如圖，ABCD是長(zhǎng)邊為6的正方形，ADGH是一個(gè)梯形，點(diǎn)E、F分別是AD、GH的中點(diǎn)，HF=6，EF=4，EF⊥GH．聯(lián)結(jié)HE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)I，作IJ⊥HA，則IJ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的周長(zhǎng)和面積,長(zhǎng)方形、正方形的面積,梯形的面積

專題：平面圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：如下圖所示作輔助線，過點(diǎn)E作EN⊥HJ于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BA，交EH于點(diǎn)O，交HG于點(diǎn)M，則AM⊥HF，AM⊥AD，因此AM=EF=4；由點(diǎn)E、F分別是AD、GH的中點(diǎn)，可知AE=HM=3，又HM∥AE，所以四邊形AEMH是平行四邊形，則OA=

1

2

AM=

1

2

×4=2，由△OAE≌△IDE，可得DI=AO=2；在RT△AMH中，由勾股定理可得AH=5；同理可得HE=2

13

，EI=

13

，于是可以求得HI=HE+EI=3

13

；由S_△HAE=

1

2

AE?EF=

1

2

AH×EN，可以求得EN的長(zhǎng)；由∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，可得△HNE∽△HJI，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得IJ的長(zhǎng)．

解答： 解：如圖作輔助線，由分析可知，
AM⊥HF，AM⊥AD，則AM=EF=4；
因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AD、GH的中點(diǎn)，
所以AE=HM=3，
又HM∥AE，
所以四邊形AEMH是平行四邊形，
所以O(shè)A=

1

2

AM=

1

2

×4=2．
因?yàn)锳E=DE，∠AEO=∠DEI，∠OAE=∠IDE=90°，
所以△OAE≌△IDE，
所以DI=AO=2；
在RT△AMH中，由勾股定理可得AH=

32+42

=5，
同理可得：HE=2

13

，EI=

13

，
所以HI=HE+EI=3

13

；
由S_△HAE=

1

2

AE?EF=

1

2

AH×EN可得：

1

2

×3×4=

1

2

×5×EN，
解之得，EN=2.4；
因?yàn)椤螮NJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，
所以△HNE∽△HJI，
所以

HE

HI

=

EN

IJ

，
所以

2 3

3 3

=

2.4

IJ

，
解得IJ=3.6．
故答案為：3.6．

點(diǎn)評(píng)：本題較難，輔助線很關(guān)鍵；用到平行四邊形的判定以及性質(zhì)，三角形的全等及相似，勾股定理等知識(shí)．