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一個物體做單向加速直線運動，依次經(jīng)過A、B、C三點，B為AC的中點，物體在AB段的加速度恒為a₁，在BC段的加速度恒為a₂，已知物體在A、B、C三點的速度分別為v_A、v_B、v_C，且有v_A<v_C， v_B=(v_A+v_C)/2，則加速度a₁、a₂的大小關(guān)系為                    

A． a₁<a₂                             B．a(chǎn)₁=a₂                                  C．a(chǎn)₁>a₂       D．條件不足，無法確定

選做題：本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。

若三題都做，則按A、B兩題評分。

A．（選修模塊3—3）

12下列說法正確的是          。

       A．布朗運動不是液體分子的運動，但它可以說明分子在永不停息地做無規(guī)則運動

       B．液體的內(nèi)部分子間比液體表面層的分子間有更大的分子勢能

       C．分了了間距離增大時，分子間的引力和斥力都減小，它們的合力也減小

       D．液晶既有液體的流動性。又具有單晶體的各向異性

   （2）如圖所示，氣缸與活塞封閉了一定質(zhì)量的理想氣體。氣缸和活塞間無摩擦，且均可與外界進行熱交換，若外界是環(huán)境的溫度緩慢升高，則封閉氣體的體積將        （增大、減小、不變），同時      （吸熱、放熱、既不吸熱也不放熱）

   （3）目前專家們正在研究二拉化碳的深海處理技術(shù)。實驗發(fā)現(xiàn)，在水深300m處，二氧化碳將變成凝膠狀態(tài)。當水深超過2500m時，二氧化碳會濃縮成近似固體的硬膠體，可看成分子間是緊密排列的。已知二氧化碳的摩爾質(zhì)量為M，阿伏加德羅常數(shù)為N，每個二氧化碳分子體積為V₀，設(shè)在某狀態(tài)下二氧化碳氣體的密謀為ρ，則在該狀態(tài)下為V的二氧化碳氣體變成固體體積為多少？

B．（選修模塊3—4）

   （1）下列說法中正確的是           

       A．水面上的油膜在陽光照射下會呈現(xiàn)彩色，這是由于光的干涉造成的色散現(xiàn)象

       B．聲波與無線電波一樣，都是機械振動在介質(zhì)中的傳播

       C．用激光讀取光盤上記錄的信息是利用激光平行度好的特點

       D．當觀察者向靜止的聲源運動時，接收到的聲音頻率低于聲源發(fā)出的頻率

   （2）一簡諧橫波沿x軸正方向傳播，在t=0時刻的波形如圖所示。已知介質(zhì)中質(zhì)點P的振動周期為2s，則該波傳播速度為       m/s，此時P點振動方向為      （y軸正方向、y軸負方向）

   （3）如圖所示，真空中平行玻璃磚折射率為，下表面鍍有反射膜，一束單色光與界面成角斜射到玻璃磚表面上，最后在玻璃磚的右側(cè)面豎直光屏上出現(xiàn)了兩個光點A和B，相距h=2.0m，求玻璃磚的厚度d。

C．（選修模塊3—5）

   （1）下列關(guān)于的代物理知識說法中正確的是          。

       A．將放射性元素摻雜到其它穩(wěn)定元素中，并降低其溫度，它的半衰期將發(fā)生改變

       B．α粒子散射實驗中少數(shù)α粒子發(fā)生較大的偏轉(zhuǎn)是盧瑟福猜想原子核式結(jié)構(gòu)模型的主要依據(jù)

       C．天然放射現(xiàn)象的發(fā)明說明了原子核有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)

       D．用質(zhì)子流工作的顯微鏡比用相同速度的電子流工作的顯微鏡分辨率低

   （2）氫原子的能級如圖所示，有一群處于n=4能級的氫原了了，這群氫原子最多能發(fā)出        種譜線，發(fā)出的光子照射某金屬能產(chǎn)生光電效應(yīng)現(xiàn)象，則該金屬逸出不應(yīng)超過     eV。

   （3）近年來，國際熱核變實驗堆計劃取得了重大進展，它利用的核反應(yīng)方程是

        若迎面碰撞，初速度大小分別為質(zhì)量分別為，反應(yīng)后的速度大小為v₃，方向與的運動方向相同，求中子的速度（選取m₁的運動方向為正方向，不計釋放的光子的動量，不考慮相對論效率）。

第六部分 振動和波

第一講 基本知識介紹

《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對詳細的補充。

一、簡諧運動

1、簡諧運動定義：= －k             ①

凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。

諧振子的加速度：= －

2、簡諧運動的方程

回避高等數(shù)學工具，我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動（以下均看在x方向的投影），圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A 。

依據(jù)：_x = －mω²Acosθ= －mω²

對于一個給定的勻速圓周運動，m、ω是恒定不變的，可以令：

mω² = k 

這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——

位移方程： = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程： = －ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程：= －ω²A cos(ωt +φ)                                   ④

相關(guān)名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。

運動學參量的相互關(guān)系：= －ω²

A = 

tgφ= －

3、簡諧運動的合成

a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x₁ = A₁cos(ωt +φ₁)和x₂ = A₂cos(ωt +φ₂) 合成，可令合振動x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x₁ + x₂ ，解得

A =  ，φ= arctg 

顯然，當φ₂－φ₁ = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b、方向垂直、同頻率振動合成。當質(zhì)點同時參與兩個垂直的振動x = A₁cos(ωt + φ₁)和y = A₂cos(ωt + φ₂)時，這兩個振動方程事實上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點在二維空間運動的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為

+－2cos(φ₂－φ₁) = sin²(φ₂－φ₁)

顯然，當φ₂－φ₁ = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），有y = x ，軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；

當φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），有+= 1 ，軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動；

當φ₂－φ₁取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運動。

c、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x₁ = Acos(ω₁t + φ)和x₂ = Acos(ω₂t + φ) ，由于合運動x = x₁ + x₂ ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。

4、簡諧運動的周期

由②式得：ω=  ，而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的，所以

T = 2π                                                      ⑤

5、簡諧運動的能量

一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構(gòu)成，即

= mv² + kx² = kA²

注意：振子的勢能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復(fù)計量。

6、阻尼振動、受迫振動和共振

和高考要求基本相同。

二、機械波

1、波的產(chǎn)生和傳播

產(chǎn)生的過程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素）

2、機械波的描述

a、波動圖象。和振動圖象的聯(lián)系

b、波動方程

如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個振動質(zhì)點的振動方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕

這個方程展示的是一個復(fù)變函數(shù)。對任意一個時刻t ，都有一個y（x）的正弦函數(shù)，在x-y坐標下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕為波動方程。

3、波的干涉

a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時，能獨立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。

b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動加強的區(qū)域和振動削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。

我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S₁和S₂表示兩個波源，P表示空間任意一點。

當振源的振動方向相同時，令振源S₁的振動方程為y₁ = A₁cosωt ，振源S₁的振動方程為y₂ = A₂cosωt ，則在空間P點（距S₁為r₁ ，距S₂為r₂），兩振源引起的分振動分別是

y₁′= A₁cos〔ω（t ? ）〕

y₂′= A₂cos〔ω（t ? ）〕

P點便出現(xiàn)兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（φ₁ =  ，φ₂ = ），且初相差Δφ= （r₂ – r₁）。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論，有

r₂ ? r₁ = kλ時（k = 0，±1，±2，…），P點振動加強，振幅為A₁ + A₂ ；

r₂ ? r₁ =（2k ? 1）時（k = 0，±1，±2，…），P點振動削弱，振幅為│A₁－A₂│。

4、波的反射、折射和衍射

知識點和高考要求相同。

5、多普勒效應(yīng)

當波源或者接受者相對與波的傳播介質(zhì)運動時，接收者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）——

a、只有接收者相對介質(zhì)運動（如圖3所示）

設(shè)接收者以速度v₁正對靜止的波源運動。

如果接收者靜止在A點，他單位時間接收的波的個數(shù)為f ，

當他迎著波源運動時，設(shè)其在單位時間到達B點，則= v₁ ，、

在從A運動到B的過程中，接收者事實上“提前”多接收到了n個波

n = = = 

顯然，在單位時間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f + n = f ，這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f₁ 。即

f₁ = f 

顯然，如果v₁背離波源運動，只要將上式中的v₁代入負值即可。如果v₁的方向不是正對S ，只要將v₁出正對的分量即可。

b、只有波源相對介質(zhì)運動（如圖4所示）

設(shè)波源以速度v₂正對靜止的接收者運動。

如果波源S不動，在單位時間內(nèi)，接收者在A點應(yīng)接收f個波，故S到A的距離：= fλ 

在單位時間內(nèi)，S運動至S′，即= v₂ 。由于波源的運動，事實造成了S到A的f個波被壓縮在了S′到A的空間里，波長將變短，新的波長

λ′= = = = 

而每個波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)?/p>

f₂ = = f 

當v₂背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。

c、當接收者和波源均相對傳播介質(zhì)運動

當接收者正對波源以速度v₁（相對介質(zhì)速度）運動，波源也正對接收者以速度v₂（相對介質(zhì)速度）運動，我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)…

f₃ =  f₂ = f 

關(guān)于速度方向改變的問題，討論類似a情形。

6、聲波

a、樂音和噪音

b、聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品

c、聲音的共鳴

第二講 重要模型與專題

一、簡諧運動的證明與周期計算

物理情形：如圖5所示，將一粗細均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運動，并求其周期。

模型分析：對簡諧運動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當簡諧運動被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。

本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時的回復(fù)力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m為固定值，可令： = k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運動。

周期T = 2π= 2π

答：汞柱的周期為2π 。

學生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F₆= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…

答案：木板運動周期為2π 。

鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導軌，一電動松鼠可在導軌上運動。現(xiàn)觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。

解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即：

N = mg                            ①

再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：

M_N = M_f

現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設(shè)它在導軌方向上距C點為x），上式即成：

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。

根據(jù)牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導軌方向上的合力。如果我們以C在導軌上的投影點為參考點，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——

= －k

其中k =  ，對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。

顯然這就是簡諧運動的定義式。

答案：松鼠做簡諧運動。

評說：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期為：T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的簡諧運動

1、彈簧振子

物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ

A． (1)如題12A-1圖所示，一演示用的“永動機”轉(zhuǎn)輪由5根輕桿和轉(zhuǎn)軸構(gòu)成，輕桿的末端裝有形狀記憶合金制成的葉片，輕推轉(zhuǎn)輪后，進入熱水的葉片因伸展面“劃水”，推動轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動。離開熱水后，葉片形狀迅速恢復(fù)，轉(zhuǎn)輪因此能較長時間轉(zhuǎn)動。下列說法正確的是

A．轉(zhuǎn)輪依靠自身慣性轉(zhuǎn)動，不需要消耗外界能量

B．轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動所需能量來自形狀記憶合金自身

C．轉(zhuǎn)動的葉片不斷攪動熱水，水溫升高

D．葉片在熱水中吸收的熱量一定大于在空氣中釋放的熱量

(2)如題12A-2圖所示，內(nèi)壁光滑的氣缸水平放置。一定質(zhì)量的理想氣體被密封在氣缸內(nèi)，外界大氣壓強為P₀�，F(xiàn)對氣缸緩慢加熱，氣體吸收熱量Q后，體積由V₁增大為V₂。則在此過程中，氣體分子平均動能_________(選填“增大”、“不變”或“減小”)，氣體內(nèi)能變化了_____________。

(3)某同學在進行“用油膜法估測分子的大小”的實驗前，查閱數(shù)據(jù)手冊得知：油酸的摩爾質(zhì)量M=0.283kg·mol^-1，密度ρ=0.895×10³kg·m^-3.若100滴油酸的體積為1ml，則1滴油酸所能形成的單分子油膜的面積約是多少？(取N_A=6.02×10²³mol^-1.球的體積V與直徑D的關(guān)系為，結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

B． (1)如圖所示，沿平直鐵路線有間距相等的三座鐵塔A、B和C。假想有一列車沿AC方向以接近光速行駛，當鐵塔B發(fā)出一個閃光，列車上的觀測者測得A、C兩鐵塔被照亮的順序是

(A)同時被照亮

(B)A先被照亮

(C)C先被照亮

(D)無法判斷

(2)一束光從空氣射向折射率為的某種介質(zhì)，若反向光線與折射光線垂直，則入射角為__________。真空中的光速為c ，則光在該介質(zhì)中的傳播速度為________________ .

(3)將一勁度系數(shù)為K的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端系上質(zhì)量為m的物塊，將物塊向下拉離平衡位置后松開，物塊上下做簡諧運動，其振動周期恰好等于以物塊平衡時彈簧的伸長量為擺長的單擺周期。請由單擺周期公式推算出物塊做簡諧運動的周期T。

C． (1)下列描繪兩種溫度下黑體輻射強度與波長關(guān)系的圖中，符合黑體輻射規(guī)律的是

(2)按照玻爾原子理論，氫原子中的電子離原子核越遠，氫原子的能量__________(選填“越大”或“越小”)。已知氫原子的基態(tài)能量為E₁(E₁<0)，電子質(zhì)量為m，基態(tài)氫原子中的電子吸收一頻率為γ的光子被電離后，電子速度大小為___________(普朗克常量為h ).

(3)有些核反應(yīng)過程是吸收能量的。例如在中，核反應(yīng)吸收的能量，在該核反應(yīng)中，X表示什么粒子？X粒子以動能E_K轟擊靜止的，若E_K=Q，則該核反應(yīng)能否發(fā)生？請簡要說明理由。

A．(1)如題12A-1圖所示，一演示用的“永動機”轉(zhuǎn)輪由5根輕桿和轉(zhuǎn)軸構(gòu)成，輕桿的末端裝有形狀記憶合金制成的葉片，輕推轉(zhuǎn)輪后，進入熱水的葉片因伸展面“劃水”，推動轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動。離開熱水后，葉片形狀迅速恢復(fù)，轉(zhuǎn)輪因此能較長時間轉(zhuǎn)動。下列說法正確的是

A．轉(zhuǎn)輪依靠自身慣性轉(zhuǎn)動，不需要消耗外界能量

B．轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動所需能量來自形狀記憶合金自身

C．轉(zhuǎn)動的葉片不斷攪動熱水，水溫升高

D．葉片在熱水中吸收的熱量一定大于在空氣中釋放的熱量

(2)如題12A-2圖所示，內(nèi)壁光滑的氣缸水平放置。一定質(zhì)量的理想氣體被密封在氣缸內(nèi)，外界大氣壓強為P₀。現(xiàn)對氣缸緩慢加熱，氣體吸收熱量Q后，體積由V₁增大為V₂。則在此過程中，氣體分子平均動能_________(選填“增大”、“不變”或“減小”)，氣體內(nèi)能變化了_____________。

(3)某同學在進行“用油膜法估測分子的大小”的實驗前，查閱數(shù)據(jù)手冊得知：油酸的摩爾質(zhì)量M=0.283kg·mol^-1，密度ρ=0.895×10³kg·m^-3.若100滴油酸的體積為1ml，則1滴油酸所能形成的單分子油膜的面積約是多少？(取N_A=6.02×10²³mol^-1.球的體積V與直徑D的關(guān)系為，結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

B．(1)如圖所示，沿平直鐵路線有間距相等的三座鐵塔A、B和C。假想有一列車沿AC方向以接近光速行駛，當鐵塔B發(fā)出一個閃光，列車上的觀測者測得A、C兩鐵塔被照亮的順序是

(A)同時被照亮

(B)A先被照亮

(C)C先被照亮

(D)無法判斷

(2)一束光從空氣射向折射率為的某種介質(zhì)，若反向光線與折射光線垂直，則入射角為__________。真空中的光速為c ，則光在該介質(zhì)中的傳播速度為________________ .

(3)將一勁度系數(shù)為K的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端系上質(zhì)量為m的物塊，將物塊向下拉離平衡位置后松開，物塊上下做簡諧運動，其振動周期恰好等于以物塊平衡時彈簧的伸長量為擺長的單擺周期。請由單擺周期公式推算出物塊做簡諧運動的周期T。

C．(1)下列描繪兩種溫度下黑體輻射強度與波長關(guān)系的圖中，符合黑體輻射規(guī)律的是

(2)按照玻爾原子理論，氫原子中的電子離原子核越遠，氫原子的能量__________(選填“越大”或“越小”)。已知氫原子的基態(tài)能量為E₁(E₁<0)，電子質(zhì)量為m，基態(tài)氫原子中的電子吸收一頻率為γ的光子被電離后，電子速度大小為___________(普朗克常量為h ).

(3)有些核反應(yīng)過程是吸收能量的。例如在中，核反應(yīng)吸收的能量，在該核反應(yīng)中，X表示什么粒子？X粒子以動能E_K轟擊靜止的，若E_K=Q，則該核反應(yīng)能否發(fā)生？請簡要說明理由。