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已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，與y軸的交點(diǎn)是M（0，c）．我們稱以M為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．
（1）請(qǐng)直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：
伴隨拋物線的解析式，伴隨直線的解析式；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是；
（3）求拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（4）若拋物線L與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，且AB=CD．請(qǐng)求出a、b、c應(yīng)滿足的條件．

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的表達(dá)式；
（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）的頂點(diǎn)在直線y=-

1

2

x-1上，且過點(diǎn)A（4，0）．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，是否在拋物線上存在一點(diǎn)B，使四邊形OPAB為梯形？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)C（1，-3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞�的對(duì)稱軸確定一點(diǎn)D，使|AD-CD|的值最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

已知拋物線C：y=x²-（m+1）x+1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
（1）求m的值；
（2）m＞0時(shí)，拋物線C向下平移n（n＞0）個(gè)單位后與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，且C₁過點(diǎn)（n，3），求C₁的函數(shù)關(guān)系式；
（3）-3＜m＜0時(shí)，拋物線C的頂點(diǎn)為M，且過點(diǎn)P（1，y₀）．問在直線x=-1上是否存在一點(diǎn)Q使得△QPM的周長最小，如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（x₀，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸是直線x=-1，tan∠BAC=2，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）確定A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若過點(diǎn)（0，3）且平行于x軸的直線與（2）小題中所求拋物線交于M、N兩點(diǎn)，以MN為一邊，拋物線上任意一點(diǎn)P（x，y）為頂點(diǎn)作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式；
（4）當(dāng)

1

2

＜x＜4時(shí)，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出；若無，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（0，8），且它的對(duì)稱軸是直線x=-2．
（1）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AC，BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，點(diǎn)B）不重合，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點(diǎn)A和B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），其對(duì)稱軸為x=1．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過A、B、C三點(diǎn)作⊙O′與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，求經(jīng)過原點(diǎn)O且與直線AD垂直（垂足為E）的直線OE的方程；
（3）設(shè)⊙O′與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P，直線OE與直線BC的交點(diǎn)為Q，直線x=m與拋物線的交點(diǎn)為R，直線x=m與直線OE的交點(diǎn)為S．是否存在整數(shù)m，使得以點(diǎn)P、Q、R、S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a，b，c都不等于0），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），與y軸的交點(diǎn)是M（0，c）．我們稱以M為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．已知有一拋物線y=-2x²+4x+1，求它的伴隨直線和伴隨拋物線的解析式．

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，n＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B，連接AC，BC，AB．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．
（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上直接寫出拋物線C₂的解析式：；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，判定△ABC的形狀，并說明理由；
（3）拋物線C₁上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．