如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（3，0），C（0，1）．將矩形OABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．設(shè)直線BB′與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C′、M、N．解答下列問題：
（1）求出該拋物線所表示的函數(shù)解析式；
（2）將△MON沿直線BB′翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)P處，請你判斷點(diǎn)P是否在該拋物線上，并請說明理由；
（3）將該拋物線進(jìn)行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好經(jīng)過原點(diǎn)O，求出所有符合要求的新拋物線的解析式．

如圖，在函數(shù)（x＞0）的圖象上，有點(diǎn)，，，…，，，

若的橫坐標(biāo)為a，且以后每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前面一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2，過點(diǎn)，，，…，，分別作x軸、y軸的垂線段，構(gòu)成若干個(gè)矩形如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為，，，…，，則=       ， +++…+=           ．（用n的代數(shù)式表示）

如圖1，△ABC表示一塊含有30°角的直角三角板，30°所對的邊AC的長為2，以斜邊AB所在直線為x軸，AB邊上的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，等腰直角△DEF的斜邊DE始終在x軸上移動，且DE=．問當(dāng)其直角頂點(diǎn)F的初始位置落在y軸的負(fù)半軸時(shí)，△DEF經(jīng)過怎樣的平移后點(diǎn)F才落在（1）中的拋物線上？