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22、(本小題滿(mǎn)分10分)選修4－1：幾何證明選講

如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，過(guò)A作直線(xiàn)AP垂直直線(xiàn)OM，垂足為P。

(Ⅰ)證明：OM·OP = OA²；

(Ⅱ)N為線(xiàn)段AP上一點(diǎn)，直線(xiàn)NB垂直直線(xiàn)ON，且交

圓O于B點(diǎn)。過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)交直線(xiàn)ON于K。證明：∠OKM = 90°。

[試題解析]：(Ⅰ)證明:因?yàn)镸A是圓O的切線(xiàn),所以.

　 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/259907/1010jiajiao.files/image249.gif">,在中,由射影定理知,

.

(Ⅱ)證明:因?yàn)锽K是圓O的切線(xiàn), ,

同(Ⅰ),有, .

所以,即.

又,

所以,故.

[高考考點(diǎn)]圓的有關(guān)知識(shí)及應(yīng)用

[易錯(cuò)點(diǎn)]：對(duì)有關(guān)知識(shí)掌握不到位而出錯(cuò)

[備考提示]：高考對(duì)平面幾何的考查一直要求不高，故要重點(diǎn)掌握，它是我們的得分點(diǎn)之一。

(23)(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線(xiàn)C₁：(為參數(shù))，曲線(xiàn)C₂：(t為參數(shù))。

(Ⅰ)指出C₁，C₂各是什么曲線(xiàn)，并說(shuō)明C₁與C₂公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(Ⅱ)若把C₁，C₂上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線(xiàn)。寫(xiě)出的參數(shù)方程。與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由。

[試題解析]：(Ⅰ)C₁是圓，C₂是直線(xiàn)，

C₁的普通方程是，C₂的普通方程是.

因?yàn)閳A心C₁到直線(xiàn)的距離是1,

所以C₁與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn).

(Ⅱ)壓縮后的參數(shù)方程分別為C₁：，

曲線(xiàn)C₂：.

化為普通方程為:,: .

聯(lián)立消元得,

其判別式,

所以壓縮后的直線(xiàn)與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C₁與C₂的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同。

[高考考點(diǎn)]參數(shù)方程與普通方程的互化及應(yīng)用

[易錯(cuò)點(diǎn)]：對(duì)有關(guān)公式掌握不到位而出錯(cuò).

[備考提示]：高考對(duì)參數(shù)方程的考查要求也不高，故要重點(diǎn)掌握，它也是我們的得分點(diǎn)之一

(24)(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)。

(Ⅰ)作出函數(shù)的圖像；

(Ⅱ)解不等式。

[試題解析]:(Ⅰ)令，則

．．．．．．．．．．．．．．．3分

圖象如圖所示，

(Ⅱ)不等式,即.

由得.

由函數(shù)圖象可知，原不等式的解集為．

[高考考點(diǎn)]絕對(duì)值不等式的有關(guān)知識(shí)及應(yīng)用本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

[易錯(cuò)點(diǎn)]：對(duì)絕對(duì)值不等式不會(huì)靈活分類(lèi)而出錯(cuò).

[備考提示]：高考對(duì)絕對(duì)值不等式的考查要求不高，以中檔題為主，故是我們的得分點(diǎn)之一，平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)不要盲目加深。

(2008江蘇卷)附加題

21：從A，B，C，D四個(gè)中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分。

A．選修4-1：幾何證明選講

如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線(xiàn)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線(xiàn)與BC交于點(diǎn)D．求證：．

證明：如圖，因?yàn)?sub> 是圓的切線(xiàn)，

　　　 所以，,

　　　 又因?yàn)?sub>是的平分線(xiàn)，

　　　 所以

　　　 從而

　　　 因?yàn)?,

　　　 所以 ,故.

　　　 因?yàn)?是圓的切線(xiàn)，所以由切割線(xiàn)定理知，

　　　 ,

　　 而，所以。

B．選修4-2　矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)F，求F的方程．

解：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)

　則有

，即，所以

　 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，從而

　所以，曲線(xiàn)的方程是

C．選修4-4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．

解： 因橢圓的參數(shù)方程為

　　 故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.

　　 因此

　　 所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值2。

D．選修4-5　不等式證明選講

設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：．

證明：因?yàn)?sub>為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得

　　　 即　

　　　 所以，

　　　 而

　　　 所以 　。

15．(幾何證明選講選做題)已知PA是圓O的切點(diǎn)，切點(diǎn)為A，PA＝2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB＝1，則圓O的半徑R=________.

[解析]依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。

(2008海南、寧夏)

14．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程分別為

，則曲線(xiàn) 交點(diǎn)的極坐標(biāo)為　　　　　　 。

[解析]我們通過(guò)聯(lián)立解方程組解得，即兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為。

15．(幾何證明選講選做題)已知是圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，．是圓的直徑，與圓交于點(diǎn)，，則圓的半徑　　　　　 ．

[標(biāo)準(zhǔn)答案]。

[試題解析]依題意，我們知道，由相似三角形的性質(zhì)我們有，即。

[高考考點(diǎn)]幾何證明選講.

(2008廣東文)

14．(不等式選講選做題)已知，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是　　　　　　 ．

[標(biāo)準(zhǔn)答案]。

[試題解析]關(guān)于的二次方程的判別式，方程有實(shí)根，那么

。

即，而，從而，

解得。

[高考考點(diǎn)]不等式選講。

13．(2008廣東理)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程分別為，，則曲線(xiàn)與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為　　　　　 ．

[標(biāo)準(zhǔn)答案]。

[試題解析]我們通過(guò)聯(lián)立解方程組解得，即兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為。

[高考考點(diǎn)]極坐標(biāo)、極坐標(biāo)方程.

22．C(本小題滿(mǎn)分10分)選修；不等式選講

設(shè)函數(shù)．

(I)解不等式；

(II)求函數(shù)的最小值．

解：

(Ⅰ)令，則

．．．．．．．．．．．．．．．3分

作出函數(shù)的圖象，它與直線(xiàn)的交點(diǎn)為和．

所以的解集為．

(Ⅱ)由函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．

22．B(本小題滿(mǎn)分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

和的極坐標(biāo)方程分別為．

(Ⅰ)把和的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)求經(jīng)過(guò)，交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程．

解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．

(Ⅰ)，，由得．

所以．

即為的直角坐標(biāo)方程．

同理為的直角坐標(biāo)方程．

(Ⅱ)由解得．

即，交于點(diǎn)和．過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．

22．A(本小題滿(mǎn)分10分)選修4－1：幾何證明選講

如圖，已知是的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，是的割線(xiàn)，與交于兩點(diǎn)，圓心在的內(nèi)部，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明四點(diǎn)共圓；

(Ⅱ)求的大小．

(Ⅰ)證明：連結(jié)．

因?yàn)?sub>與相切于點(diǎn)，所以．

因?yàn)?sub>是的弦的中點(diǎn)，所以．

于是．

由圓心在的內(nèi)部，可知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，所以四點(diǎn)共圓．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得四點(diǎn)共圓，所以．

由(Ⅰ)得．

由圓心在的內(nèi)部，可知．

所以

22．請(qǐng)考生在三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．