7．求證：當(dāng)
且
時，
．
6．求和：
．
5．在
的展開式中，奇數(shù)項之和為
，偶數(shù)項之和為
，則
等于( )
A.0 B.
C.
D.
4．某企業(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應(yīng) ( )
A.低于5% B.在5%-6%之間
C.在6%-8%之間 D.在8%以上
3．若二項式
()的展開式中含有常數(shù)項，則
的最小值為( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2．多項式
()的展開式中，
的系數(shù)為
1．
展開式中的系數(shù)為 ，各項系數(shù)之和為 ．
例1． 設(shè)
，
當(dāng)
時，求的值
解：令
得：
，
∴
，
點評：對于
，令
即
可得各項系數(shù)的和
的值；令
即，可得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項和的關(guān)系
例2．求證：
．
證(法一)倒序相加：設(shè)
①
又∵
②
∵
，∴
，
由①+②得：
，
∴
，即．
(法二)：左邊各組合數(shù)的通項為
，
∴ 
．
例3．已知：
的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大
．
(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項
解：令，則展開式中各項系數(shù)和為
，
又展開式中二項式系數(shù)和為
，
∴
，
．
(1)∵，展開式共
項，二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項，
∴
，
，
(2)設(shè)展開式中第
項系數(shù)最大，則
，
∴
，∴
，
即展開式中第
項系數(shù)最大，
．
例4．已知
，
求證：當(dāng)為偶數(shù)時，
能被
整除
分析：由二項式定理的逆用化簡
，再把變形，化為含有因數(shù)的多項式
∵
，
∴
，∵為偶數(shù)，∴設(shè)
()，
∴
(
) ，
當(dāng)=
時，
顯然能被整除，
當(dāng)時，()式能被整除，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，能被整除
5．二項式系數(shù)的性質(zhì)：
展開式的二項式系數(shù)是
，
，，…，．可以看成以
為自變量的函數(shù)
，定義域是
，例當(dāng)時，其圖象是個孤立的點(如圖)
(1)對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(∵
)．
直線
是圖象的對稱軸．
(2)增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項
取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項
，取得最大值．
(3)各二項式系數(shù)和：
∵
，
令，則
3．
求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性
4二項式系數(shù)表(楊輝三角)
展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)依次取
…時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和
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