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4．邊角互化是解三角形的重要手段．

同步練習(xí)　 　　4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

　 [選擇題]

2．利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：

(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)；3.利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：

(1)　　　 已知三邊，求三角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；

[例1](2006天津)如圖，在中，，，．

(1)求的值；

(2)求的值.

解(Ⅰ)：　 由余弦定理，

∴

(Ⅱ)解：由，且得

由正弦定理:

解得。所以，。由倍角公式

，

且，故

.

◆提煉方法：已知兩邊夾角,用余弦定理,由三角函數(shù)值求三角函數(shù)值時(shí)要注意“三角形內(nèi)角”的限制.

[例2]在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及邊c．

解：由正弦定理得：sinA=,因?yàn)锽=45°<90°且b<a,

所以有兩解A=60°或A=120°

(1)當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-(A+B)=75°， c=,

(2)當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-(A+B)=15 °，c=

◆提煉方法：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題，用正弦定理求解，必需注意解的情況的討論．

[例3](2006上海)如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救　 甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到)？

[解] 　連接BC,由余弦定理得

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700　

　　 于是,BC=10　

　　 ∵∠ACB<90°　　　　　 ∴∠ACB=41°

∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援　

思路點(diǎn)撥:把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問題，在問題中構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法；

[例4]已知⊙O的半徑為R，，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有

成立，求△ABC面積S的最大值．

解：由已知條件得

．即有 ，

又 　∴ �。�

∴

當(dāng)時(shí), ．

◆思路方法:1.邊角互化是解三角形問題常用的手段．一般有兩種思路：一是邊化角；二是角化邊。

2.三角形中的三角變換，應(yīng)靈活運(yùn)用正、余弦定理．在求值時(shí)，要利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．

[研討.欣賞]

(2006江西)如圖,已知△是邊長為的正三角形, 、分別是邊、上的點(diǎn),線段經(jīng)過△的中心.設(shè).

(1)　　 試將△、△的面積(分別記為與)表示為的函數(shù);

(2)　　 求的最大值與最小值.

解:

　　　 (1)因?yàn)?sub>為邊長為的正三角形的中心,

　　　　 所以

　　　 由正弦定理

　　　　　 因?yàn)?sub>,所以當(dāng)時(shí),的最大值;

　　　　　 當(dāng)時(shí), 的最小值.

4.組成邊長6,7,7時(shí)面積最大; 5. ; 6.

6.(2006春上海)在△中，已知，三角形面積為12，則

　　　 .

◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.

5.(2006全國Ⅱ)已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB=1，BC=4，則邊BC上的中線AD的長為_________.

4. (2006全國Ⅰ)用長度分別為2、3、4、5、6(單位：)的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形(允許連接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為 (　 )

A. 　　B.　 　　　　　C. 　　　　　D.

3．(2002年上海)在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是

A.等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 B.直角三角形

C.等腰三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.等邊三角形

2．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為(　　 )

A.　 B.　　 C.　 D.