2、江蘇省阜中2008屆高三第三次調(diào)研考試試題
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),
集合
,且
.46
3. 已知
,
,
,
。
(1)求
；
(2)設(shè)∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝
，
，求sinx
解：(1)由已知
∴
∵
∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,
又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分
所以
……6分
(2)在△ABC中，
∴
……8分
而
如果
，
則
∴
……10分
點(diǎn)評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際問題.
題型3：向量的模
例5．(1)已知向量
與
的夾角為
，
則
等于( )
A．5 B．4 C．3 D．1
(2)(2009遼寧卷文)平面向量a與b的夾角為
，a＝(2,0), | b |＝1，則 | a+2b |等于 ( )
A.
B.2 C.4
D.12
解析 由已知|a|＝2,|a+2b|2＝a2+4a·b+4b2＝4+4×2×1×cos60°+4＝12
∴
解析：(1)B；(2)B
點(diǎn)評：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算
，以及
。
例6．已知
＝(3，4)，
＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。
解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；
又(x+y)⊥
(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；
即25x+24y＝0 ①；
又｜x+y｜=1｜x+y｜2＝1；
(3x+4y)2+(4x+3y)2＝1；
整理得25x2+48xy+25y2＝1即x(25x+24y)+24xy+25y2＝1 ②；
由①②有24xy+25y2＝1 ③；
將①變形代入③可得：y=±
；
再代回①得：
。
點(diǎn)評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。
題型4：向量垂直、平行的判定
例7．已知向量
，
，且
，則
。
解析：∵，∴
，∴
，∴
。
例8．已知
，
，
，按下列條件求實(shí)數(shù)
的值。(1)
；(2)
；
。
解析：
(1)
；
(2)
；
。
點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算.
題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用
例9．已知
。
分析：
，可以看作向量
的模的平方，而
則是
、
的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。
證明：設(shè)
則
。
點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如
等。
例10．已知
，其中
。
(1)求證：
與
互相垂直；
(2)若
與
(
)的長度相等，求
。
解析：(1)因為
所以與互相垂直。
(2)
，
，
所以
，
，
因為
，
所以
，
有
，
因為，故
，
又因為
，
所以
。
點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。
題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用
例12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。
已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)(不與A、B重合)，求證：∠APB＝90°。
證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量
，則
且
，
，即∠APB＝90°。
點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。
題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用
例13．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力
、
作用于同一點(diǎn)P，求五個力的合力.
解析：所求五個力的合力為
，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則
，由正六邊形的性質(zhì)可知
，且O點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則
，由正六邊形的性質(zhì)可知
，且F點(diǎn)在PC的延長線上。
由正六邊形的性質(zhì)還可求得
故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為
，方向與
的方向相同。
課后訓(xùn)練：
(2009北京卷理)已知向量a、b不共線，c
a
b
R),d
a
b,如果c
d，那么 ( )
A．
且c與d同向
B．且c與d反向
C．
且c與d同向
D．且c與d反向
答案 D
解析 本題主要考查向量的共線(平行)、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考
查.
取a
，b
，若，則cab
，dab
，
顯然，a與b不平行，排除A、B.
若，則cab
，dab
，
即cd且c與d反向，排除C，故選D.
題型1：數(shù)量積的概念
例1．判斷下列各命題正確與否：
(1)
；
(2)
；
(3)若
，則
；
(4)若
，則
當(dāng)且僅當(dāng)
時成立；
(5)
對任意
向量都成立；
(6)對任意向量
，有
。
解析：(1)錯；(2)對；(3)錯；(4)錯；(5)錯；(6)對。
點(diǎn)評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚
為零向量，而
為零.
例2． 已知△
中，過重心
的直線交邊
于
，交邊
于
，設(shè)△
的面積為
，△
的面積為
，
，
，則(ⅰ)
(ⅱ)
的取值范圍是
.
[解析]設(shè)
，
，
，
，因為是△的重心，故
，又
，
，因為
與
共線，所以
，即
，又與不共線，所以
及
，消去，得
.
(ⅰ)
，故
；
(ⅱ)
，那么
，當(dāng)與
重合時，
，當(dāng)位于中點(diǎn)時，
，故
，故
但因為與不能重合，故
(2)設(shè)
、
、
是任意的非零平面向量,且相互不共線,則
①(·)－(·)=
②||－||<|－| ③(·)－(·)不與垂直
④(3+2)(3－2)=9||2－4||2中，是真命題的有( )
A.①②
B.②③ C.③④ D.②④
解析：(1)答案：D；因為
，而
；而方向與方向不一定同向.
(2)答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因為［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。
點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。
題型2：向量的夾角
例3．(1)過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若
，
，
，則
的值為( )
(A)4
(B)3 (C)2
(D)1
解析：取△ABC為正三角形易得＝3．選B．
評析：本題考查向量的有關(guān)知識，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學(xué)生靈活處理問題的能力．
(2)已知向量=(cos
,sin),=(cos
,sin),且
，那么
與
的夾角的大小是
。
(3)已知兩單位向量與的夾角為
，若
，試求
與
的夾角。
(4)| |=1，| |=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：(2)
；
(3)由題意，
，且與的夾角為，
所以，
，
，
，
同理可得
。
而
，
設(shè)
為與的夾角，
則
。
(4)C；設(shè)所求兩向量的夾角為
即：
所以
點(diǎn)評：解決向量的夾角問題時要借助于公式
，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于
這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握.
例4．(1)設(shè)平面向量
、
、
的和
。如果向量
、
、
，滿足
，且
順時針旋轉(zhuǎn)
后與
同向，其中
，則( )
A．－++=
B．-+=
C．+-=
D．++=
(2)(2009廣東卷理)已知向量
與
互相垂直，其中
．
(1)求
和
的值；
(2)若
，求
的值．
解 (1)∵與互相垂直，則
，即
，代入
得
，又，
∴
.
(2)∵
，
，∴
，
則
，
2、(山東臨沂2009年模擬)如圖，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=
,∠BAC=θ,記
。
(1) 求
關(guān)于θ的表達(dá)式;
(2) 求的值域。
解：(1)由正弦定理，得
(2)由
，得
∴
，即的值域為
.
2．向量的應(yīng)用
(1)向量在幾何中的應(yīng)用；
(2)向量在物理中的應(yīng)用。
1．向量的數(shù)量積
(1)兩個非零向量的夾角
已知非零向量a與a，作
＝，
＝，則∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫與的夾角；
說明：(1)當(dāng)θ＝0時，與同向；
(2)當(dāng)θ＝π時，與反向；
(3)當(dāng)θ＝
時，與垂直，記⊥；
(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°≤q≤180°。
|
(2)數(shù)量積的概念
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)。規(guī)定；
向量的投影：︱︱cos=
∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；
(3)數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積.
(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)
①向量的模與平方的關(guān)系：
。
②乘法公式成立
；
；
③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
交換律成立：
；
對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：
；
分配律成立：
。
④向量的夾角：cos=
=
。
當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時θ=1800，同時
與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題.
(5)兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
已知兩個向量
，則·=
。
(6)垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。
兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O
，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。
(7)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式
設(shè)
，則
或
。
如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
、
，那么
(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) .
本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。
平面向量的綜合問題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主.
預(yù)測2010年高考：
(1)一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目.
(2)一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)；
2．向量的應(yīng)用
經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。
1．平面向量的數(shù)量積
①通過物理中"功"等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；
②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；
③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；
④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。
32.(3分)世界衛(wèi)生組織已把鋁列為食品污染源之一，規(guī)定每人每天的攝入量控制在0.004g以下。若在1 kg的米面食品中加入2 g明礬(明礬的化學(xué)式：KAl(SO4)2·12H2O)，那么某人一天如果吃了100 g上述米面食品，通過計算說明他攝入的鋁的量是否在安全范圍之內(nèi)。
31.(3分)實(shí)驗室用回收的60 g 10%的稀硫酸和98%的濃硫酸(密度：1.84g·cm－3)配制30%的硫酸溶液，需取濃硫酸多少毫升？可配得30%的硫酸多少克？
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