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4．注意代換后參數(shù)的等價(jià)性

例8已知y＝2sinθcosθ+sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值

解：設(shè)t＝sinθ－cosθ＝sin(θ－)

∴2sinθcosθ＝1－t²

∴y＝－t²+t+1＝－(t－)²+

又∵t＝sin(θ－)，0≤θ≤π

∴－≤θ－≤

∴－1≤t≤

當(dāng)t＝時(shí)，y_max＝

當(dāng)t＝-1時(shí)，y_min＝－1

說明：此題在代換中，據(jù)θ范圍，確定了參數(shù)t∈［－1，］，從而正確求解，若忽視這一點(diǎn)，會(huì)發(fā)生t＝時(shí)有最大值而無(wú)最小值的結(jié)論

3．注意題中字母(參數(shù))的討論

例7求函數(shù)y＝sin²x+acosx+a－(0≤x≤)的最大值

解：∵y＝1－cos²x+acosx+a－＝－(cosx－)²++a－

∴當(dāng)0≤a≤2時(shí)，cosx＝，y_max＝+a－

當(dāng)a＞2時(shí)，cosx＝1，y_max＝a－

當(dāng)a＜0時(shí)，cosx＝0，y_max＝a－

說明：解此題注意到參數(shù)a的變化情形，并就其變化討論求解，否則認(rèn)為cosx＝時(shí)，y有最大值會(huì)產(chǎn)生誤解

2．注意條件中角的范圍

例6已知｜x｜≤，求函數(shù)y＝cos²x+sinx的最小值

解：y＝－sin²x+sinx+1＝－(sinx－)²+

∵－≤x≤

∴－≤sinx≤

∴當(dāng)sinx＝－時(shí)

y_min＝－(－－)²+＝

說明：解此題注意了條件｜x｜≤，使本題正確求解，否則認(rèn)為sinx＝－1時(shí)y有最小值，產(chǎn)生誤解

三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)性質(zhì)的重要內(nèi)容之一，也是會(huì)考、高考必考內(nèi)容，在求解中欲達(dá)到準(zhǔn)確、迅速，除熟練掌握三角公式外，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．注意sinx、cosx自身的范圍

例5求函數(shù)y＝cos²x－3sinx的最大值

解：y＝cos²x－3sinx＝－sin²x－3sinx+1＝－(sinx+)²+

∵－1≤sinx≤1，

∴當(dāng)sinx＝－1時(shí)，y_max＝3

說明：解此題易忽視sinx∈［－1，1］這一范圍，認(rèn)為sinx＝－時(shí)，y有最大值，造成誤解

利用變量代換，我們可把三角函數(shù)最值問題化成代數(shù)函數(shù)最值問題求解

例4求f(x)＝sin⁴x+2sin³xcosx+sin²xcos²x+2sinxcos³x+cos⁴x的最大值和最小值

解：f(x)＝(sin²x+cos²x)²－2sin²xcos²x+2sinxcosx(sin²x+cos²x)+sin²xcos²x=1+2sinxcosx－sin²xcos²x

令t＝sin2x

∴－≤t≤　　　　　　　　　　　 ①

f(t)＝1+2t－t²＝－(t－1)²+2　　 ②

在①的范圍內(nèi)求②的最值

當(dāng)t＝，即x＝kπ+(k∈Z)時(shí)，f(x)_max＝

當(dāng)t＝－，即x＝kπ+(k∈Z)時(shí)，f(x)_min＝－

如果f(x)在［α，β］上是增函數(shù)，則f(x)在［α，β］上有最大值f(β)，最小值f(α)；如果f(x)在［α，β］上是減函數(shù)，則f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β)

例3 在0≤x≤條件下，求y＝cos²x－sinxcosx－3sin²x的最大值和最小值

解：利用二倍角余弦公式的變形公式，有

y＝－2sin2x－3·＝2(cos2x－sin2x)－1

＝2 (cos2xcos－sin2xsin)－1

＝2cos(2x+)－1

∵0≤x≤，≤2x+≤

cos(2x+)在［0，)上是減函數(shù)

故當(dāng)x＝0時(shí)有最大值

當(dāng)x＝時(shí)有最小值－1

cos(2x+)在［，］上是增函數(shù)

故當(dāng)x＝時(shí)，有最小值－1

當(dāng)x＝時(shí)，有最大值－

綜上所述，當(dāng)x＝0時(shí)，y_max＝1

當(dāng)x＝時(shí)，y_min＝－2－1

利用三角函數(shù)的有界性如｜sinx｜≤1，｜c(diǎn)osx｜≤1來(lái)求三角函數(shù)的最值

例2　 a、b是不相等的正數(shù)

求y＝的最大值和最小值

解：y是正值，故使y²達(dá)到最大(或最小)的x值也使y達(dá)到最大(或最小)

y²＝acos²x+bsin²x+2·+asin²x+bcos²x

＝a+b+

∵a≠b，(a－b)²＞0，0≤sin²2x≤1

∴當(dāng)sin2x＝±1時(shí)，即x＝(k∈Z)時(shí)，y有最大值；

當(dāng)sinx＝0時(shí)，即x＝ (k∈Z)時(shí)，y有最小值+