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10．(1994全國(guó))如圖，已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)．

(1)證明AB₁∥平面DBC₁；

(2)假設(shè)AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，

DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù)．

(1)證明：∵A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．

連結(jié)B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連結(jié)DE．

在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B₁BCC₁，連結(jié)EF，則EF

是ED在平面B₁BCC₁上的射影．

∵AB₁⊥BC₁，

由(1)知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，則BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．

設(shè)AC=1，則DC=．∵△ABC是正三角形，

∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，

CF=DC·cosC=．取BC中點(diǎn)G．

∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，

EF²=BF·GF，又BF=BC－FC=，GF=，　　

∴EF²=·，即EF=．

∴tg∠DEF=．

∴∠DEF=45°故二面角α為45°．

[探索題]

9.如圖，三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，

∠ABC=90°.

(1)求證：V、A、B、C四點(diǎn)在同一球面上；

(2)過(guò)球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形.

證明：(1)取VC的中點(diǎn)M，

∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，

∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M為斜邊VC的中點(diǎn)，

∴MB=MC=MV.同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC.

∴MV=MC=MA=MB.

∴V、A、B、C四點(diǎn)在同一圓面上，M是球心.

(2)取AC、AB、VB的中點(diǎn)分別為N、P、Q，連結(jié)NP、PQ、QM、MN，則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V-ABC的截面，易證PQMN是平行四邊形.又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.

8.已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a、b、c，設(shè)O為S在底面ABC上的射影.求證：

(1)O為△ABC的垂心；

(2)O在△ABC內(nèi)；

(3)設(shè)SO=h，則 + +=.

證明：(1)∵SA⊥SB，SA⊥SC，

∴SA⊥平面SBC，BC平面SBC.∴SA⊥BC.

而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC.

同理可證AB⊥CF，AC⊥BE，故O為△ABC的垂心.

(2)證明△ABC為銳角三角形即可.不妨設(shè)a≥b≥c，則底面三角形ABC中，AB=為最大，從而∠ACB為最大角.

用余弦定理求得：cos∠ACB=>0，

∴∠ACB為銳角，△ABC為銳角三角形.故O在△ABC內(nèi).

(3)SB·SC=BC·SD，

故SD=，= +，

又SA·SD=AD·SO，

==

= += ++=.

7. (2006山東)如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè)

(1)求證直線是異面直線與的公垂線；

(2)求點(diǎn)A到平面VBC的距離；

(3)求二面角的大小.

證明(Ⅰ)∵平面∥平面，

∵∴

又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，

　，

又，.

為與的公垂線.

解(Ⅱ)：過(guò)A作于D，　

∵△為正三角形，∴D為的中點(diǎn).

∵BC⊥平面　 ∴，

又，∴AD⊥平面，

∴線段AD的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面的距離.

在正△中，.

∴點(diǎn)A到平面的距離為.

解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)，則⊥平面，且=.

由(Ⅰ)知，設(shè)A到平面的距離為x，

，

即,

解得.即A到平面的距離為.

則

∴到平面的距離為.

(III)過(guò)點(diǎn)作于，連，由三重線定理知

是二面角的平面角.

在中，

　 .

.

所求二面角大小為arctan.

5. 4　 192π;　 6.距離為12.

[解答題]

6.已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為　　　　 .

◆答案提示： 1-3．ACC；　　 4. 1∶3∶5;

5.(2004年北京)地球儀上北緯30°緯線的長(zhǎng)度為12πcm，該地球儀的半徑是_________cm，表面積是_________cm².

4.過(guò)棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比(自上而下)為_(kāi)_________.

3．各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(　 )

A.　 B.　 C.　　 D.

[填空題]

2.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,這個(gè)球的表面積是 (　 )

A.20π　　　 B.25π　　　 C.50π　　　 　 D.200π