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20.(16分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+)(-＜＜0)，y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.

(1)求；

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)證明：直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.

(1)解　 ∵x=是函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸，

∴sin =±1，

∴+=k+，k∈Z.

∵-＜＜0，∴=-.

(2)解　 由(1)知=-，因此y=sin.

由題意得2k-≤2x-≤2k+，k∈Z.

則k+≤x≤k+，k∈Z

所以函數(shù)y=sin的單調(diào)增區(qū)間為

，k∈Z.

(3)證明　 ∵|y′|=|(sin())′|

=|2cos()|≤2，

∴曲線y=f(x)的切線斜率的取值范圍是［-2，2］，而直線5x-2y+c=0的斜率為＞2，所以直線5x-2y+c=0與函數(shù)

y=sin()的圖象不相切.

19.(16分)把曲線C：y=sin·cos向右平移a (a＞0)個單位，得到的曲線C′關(guān)于直線x=對稱.

(1)求a的最小值；

(2)就a的最小值證明：當(dāng)x∈時，曲線C′上的任意兩點的直線斜率恒大于零.

(1)解　 ∵y=sin

=sin

=sin,

∴曲線C′方程為y=sin，

它關(guān)于直線x=對稱，

∴sin=±，

即2+=k+(k∈Z),

解得a=-(k∈Z),

∵a＞0,∴a的最小值是.

(2)證明　 當(dāng)a=時，曲線C′的方程為y=sin2x.

由函數(shù)y=sin2x的圖象可知：

當(dāng)x∈時，函數(shù)y=sin2x是增函數(shù)，

所以當(dāng)x₁＜x₂時，有y₁＜y₂,

所以＞0，即斜率恒大于零.

18.(16分)已知tan、tan是方程x²-4x-2=0的兩個實根，求:cos²(+)+2sin(+)cos(+)-3sin²(+)的值.

解　 由已知有tan+tan=4,tan·tan=-2,

∴tan(+)==,

cos²(+)+2sin(+)cos(+)-3sin²(+)

=

=

==-.

17.(2008·江蘇，15)(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角，　

，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為，.

(1)求tan(+)的值；

(2)求+2的值.

解　 由條件得cos=,cos=.

∵,為銳角,

∴sin==,

sin==.

因此tan==7,tan==.

(1)tan(+)===-3.

(2)∵tan2===,

∴tan(+2)===-1.

∵,為銳角,∴0＜+2＜,∴+2=.

16.(14分)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A＞0, ＞0,||＜) (x∈R)的部分圖象如圖所示.

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)設(shè)g(x)=f(x)-f,求函數(shù)g(x)的最小值及相應(yīng)的x的取值集合.

解　 (1)由圖象可知：A=1，

函數(shù)f(x)的周期T滿足：=-=，T=，

∴T==.∴=2.∴f(x)=sin(2x+).

又f(x)圖象過點,

∴f=sin=1，=2kπ+(k∈Z).

又||＜,故=.∴f(x)=sin.

(2)方法一　 g(x)=f(x)- f

=sin-sin

=sin-sin

=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x

=2sin2x,

由2x=2k-(k∈Z),得x=k-(k∈Z),

方法二　 g(x)=f(x)-f

=sin-sin

=sin-cos

=2sin=2sin2x,

由2x=2k-(k∈Z),得x=k-(k∈Z),

∴g(x)的最小值為-2,相應(yīng)的x的取值集合為{x|x=k-,k∈Z}.

15.(14分)已知∈,∈且sin(+)=,cos=-.求sin.

解　 ∵∈，cos=-,∴sin=.

又∵0＜＜,＜＜,∴＜+＜,

又sin(+)=,

∴＜+＜,cos(+)=-

=-=-,

∴sin=sin［(+)-］

=sin(+)cos-cos(+)sin

=·-·=.

14.關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin,有下列命題：

①其最小正周期為；

②其圖象由y=2sin3x向左平移個單位而得到；

③在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則其中真命題為　　　　 (寫出你認(rèn)為正確答案的序號).

答案　 ①③

13.若f(x)=asin+bsin(ab≠0)是偶函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(a，b)可以是　　　　　 .(注：只要填滿足a+b=0的一組數(shù)字即可)

答案　 (1，-1)

12.函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|，x∈［0，2］的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是　　 　　　.

答案　 1＜k＜3

11.若cos(+)=,cos(-)=,則tan·tan=　　　　 .

答案