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4、 平衡問題中極值的求法

極值：是指研究平衡問題中某物理量變化情況時(shí)出現(xiàn)的最大值或最小值。中學(xué)物理的極值問題可分為簡單極值問題和條件，區(qū)分的依據(jù)就是是否受附加條件限制。若受附加條件陰制，則為條件極值。

[例7]如圖所示，物體放在水平面上，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)施一與水平面成α角且斜向下的力F推物體，問：α角至少為多大時(shí)，無論F為多大均不能推動(dòng)物體(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)？

解析：設(shè)物體的質(zhì)量為m，靜摩擦力為f，現(xiàn)取剛好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)分析，如圖由平衡條件有Fcosα=μ(mg+Fsinα)，F(xiàn)=

該式中出現(xiàn)三個(gè)未知量，條件缺少，但注意到題中“無論F多大………”，可設(shè)想：當(dāng)F→∞時(shí)，必有右邊分式的分母→0，即cosα－μsinα=0，得α=arctan()，因此α≥arctan()即為所求。

[例8]如圖所示，A、B兩個(gè)帶有同種電荷的小球，質(zhì)量都是m，用兩根長為L的細(xì)絲線將這兩球吊于O點(diǎn)，當(dāng)把球A固定點(diǎn)O的正下方時(shí)，球B偏轉(zhuǎn)的角度α=60⁰，求A、B兩球帶電總量的最小值？

解析：設(shè)A、B兩球所帶電荷量分別為q_A、q_B，由題意知，球B偏離豎直方向60⁰后處于平衡狀態(tài)，以B為研究對(duì)象，球B受三個(gè)力的作用：重力mg、線的拉力T、A對(duì)B的庫侖力F，受力分析如圖，由平衡條件得：F=mg

由庫侖定律得F=，聯(lián)立得q_Aq_B==常數(shù)，由上述推論可知，當(dāng)q_A=q_B時(shí)，q_A+q_B有最小值，即(q_A+q_B)_min=2

試題展示

平衡問題的情境與處理方法

基礎(chǔ)知識(shí)　 一、情境

　　 l．一般平衡：物質(zhì)受到若干個(gè)力而處于平衡狀態(tài)．已知其中一些力需求某個(gè)力，構(gòu)建已知力與未知力之間的關(guān)系。

　　 2特殊平衡

　 (1)動(dòng)態(tài)平衡：物體受到的若干個(gè)力中某些力在不斷變化，但物體的平衡狀態(tài)不變．這類問題一般需把握動(dòng)(如角度)與不動(dòng)(如重力)的因素及其影響關(guān)系．

　 (2)臨界平衡：當(dāng)物體的平衡狀態(tài)即將被破壞而尚未破壞時(shí)對(duì)應(yīng)的平衡．這類問題需把握一些特殊詞語，如“恰”、“最大”、“最小”、“至多”等隱含的物理意義和條件。

3、 解決臨界問題的方法

臨界問題：某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從某種特性變化為另一種特性時(shí)，發(fā)生的轉(zhuǎn)折狀態(tài)為臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)也可理解為“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”某種現(xiàn)象的狀態(tài)，平衡物體的臨界狀態(tài)是指物體所處平衡狀態(tài)將要變化的狀態(tài)，涉及臨界狀態(tài)的問題叫臨界問題，解決這類問題一定要注意“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”的條件。

在研究物體的平衡時(shí)，經(jīng)常遇到求物理量的取值范圍問題，這樣涉及到平衡問題的臨界問題，解決這類問題的基本方法是假設(shè)推理法，即先假設(shè)怎樣，然后再根據(jù)平衡條件及有關(guān)知識(shí)列方程求解。

[例6]如圖所示，一圓柱形容器上部圓筒較細(xì)，下部的圓筒較粗且足夠長，容器的底是一可沿圓筒無摩擦移動(dòng)的活塞S，用細(xì)繩通過測(cè)力計(jì)F將活塞提著．容器中盛水．開始時(shí)，水面與上圓筒的開口處在同一水平面，在提著活塞的同時(shí)使活塞緩慢地下移．在這一過程中，測(cè)力計(jì)的讀數(shù)(A)

　　 A、先變小，然后保持不變

　　 B、一直保持不變

　　 C、先變大，然后變小

D、先變小，然后變大

解析：取活塞為研究對(duì)象，活塞受到重力G、大氣對(duì)下底面的壓力F₁、水對(duì)活塞上表面的壓力F₂、

繩的拉力T，如圖所示，其中F₁=P₀S，F(xiàn)₂=(P₀+hρg)S，h為水柱高度，由力的平衡條件得：T=G+F₂－F₁=G+hρgS。

當(dāng)活塞緩慢下移時(shí)，g減小，T減小。當(dāng)液面下移到粗圓筒上部時(shí)，活塞再下移，液柱的高度不變，T不變。

3、三力匯交原理與三角形相似法

物體在共面的三個(gè)力作用下處于平衡時(shí)，若三個(gè)力不平行，則三個(gè)力必共點(diǎn)．這就是三力匯交原理

[例4]重力為G的均質(zhì)桿一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一條水平繩上，桿與水平面成α角，如圖所示，已知水平繩中的張力大小為F₁，求地面對(duì)桿下端的作用力大小和方向？

解析：地面對(duì)桿的作用力是地面對(duì)桿的彈力和擦力的兩個(gè)力的合力，這樣桿共受三個(gè)彼此不平行的作用力，根據(jù)三力匯交原理知三力必為共點(diǎn)力，如圖所示，設(shè)F與水平方向夾角為β，根據(jù)平衡條件有：Fsinβ=G，F(xiàn)cosβ=F₁，解得F=，β=arctan

當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，由力的合成分解作出平行四邊形，由三角形相似可列式求解．

[例5]如圖所示，在豎直墻上用絕緣物固定一帶電體A，在其正上方的點(diǎn)O用長為L的絕緣絲懸掛一帶電小球B，由于帶電體間的相互排斥而使絲線成B角．后由于漏電使B減小，問此過程中絲線對(duì)帶電小球的拉力的變化情況．

解析：由受力分析可知，帶電小球B受三個(gè)力的作用：重力G；線的拉力T及A的靜電斥力F，受力分析如圖，這三個(gè)力組成的力三角形與△ABO相似，可得。因OA、OB及G都是恒量，所以在此變化過程中絲線對(duì)小球的拉力T保持不變。

2、動(dòng)態(tài)平衡問題的分析

在有關(guān)物體平衡問題中，存在著大量的動(dòng)態(tài)平衡問題，所謂動(dòng)態(tài)平衡問題是指通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化，而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)．解動(dòng)態(tài)問題的關(guān)鍵是抓住不變量，依據(jù)不變的量來確定其他量的變化規(guī)律，常用的分析方法有解析法和圖解法．

解析法的基本程序是：對(duì)研究對(duì)象的任一狀態(tài)進(jìn)行受力分析，建立平衡方程，求出應(yīng)變物理量與自變物理量的一般函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)自變量的變化情況及變化區(qū)間確定應(yīng)變物理量的變化情況

圖解法的基本程序是：對(duì)研究對(duì)象在狀態(tài)變化過程中的若干狀態(tài)進(jìn)行受力分析，依據(jù)某一參量的變化(一般為某一角度)，在同一圖中作出物體在若干狀態(tài)下的平衡力圖(力的平行四邊形或力的三角形)，再由動(dòng)態(tài)的力的平行四邊形或三角形的邊的長度變及角度變化確某些力的大小及方向的變化情況

[例]固定在水平面上光滑半球，半徑為R，球心O的正上方固定一個(gè)小定滑輪，細(xì)線一端拴一小球，置于半球面的A點(diǎn)，另一端繞過A點(diǎn)，現(xiàn)緩慢地將小球從A點(diǎn)拉到B點(diǎn)，則此過程中，小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮�F_N、細(xì)線的拉力大小F的變化情況是：()

A、F_N變大，F(xiàn)不變；B、F_N變小，F(xiàn)變大；C、F_N不變，F(xiàn)變��；D、F_N變大，F(xiàn)變��；

解析：(1)三角形法

小球緩慢運(yùn)動(dòng)合力為零，由于重力G、半球的彈力F_N、繩的拉力F的方向分別沿豎直方向、半徑方向、繩收縮的方向，所以由G、F_N、F組成的力的三角形與長度三角形△AOC相似，所以有：

，F(xiàn)_N=，F(xiàn)=

拉動(dòng)過程中，AC變小，OC與R不變，所以F_N不變，F(xiàn)變小。

(2)正交分解法

水平方向上：F_Nsinα－Fsinβ=0………①

豎直方向上：F_Ncosα－Fcosβ－G=0…………②

由以上二式得F=Gsinα/sin(α+β)

設(shè)A到OC間的距離為X，則sinα=，sinβ=，△AOC中由正弦定理得： =，解得sinβ=，將sinα、sinβ、sin(α+β)代入表達(dá)式得F=，F(xiàn)_N=，可見在L減小時(shí)，R與d+R均不變，F(xiàn)_N不變，F(xiàn)變小。

極值是指研究平衡問題中某物理量變化情況時(shí)出遭到的最大值或最小值。可分為簡單極值問題和條件極值問題。

規(guī)律方法

1、用平衡條件解題的常用方法

(1)力的三角形法

　　 物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力作用平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢量箭頭首尾相接，構(gòu)成一個(gè)矢量三角形；反之，若三個(gè)力矢量箭頭首尾相接恰好構(gòu)成三角形，則這三個(gè)力的合力必為零．利用三角形法，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)可求得未知力．

(2)力的合成法

　　 物體受三個(gè)力作用而平衡時(shí)，其中任意兩個(gè)力的合力必跟第三個(gè)力等大反向，可利用力的平行四邊形定則，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

(3)正交分解法

　　 將各個(gè)力分別分解到X軸上和y軸上，運(yùn)用兩坐標(biāo)軸上的合力等于零的條件，多用于三個(gè)以上共點(diǎn)力作用下的物體的平衡．值得注意的是，對(duì)x、y方向選擇時(shí)，盡可能使落在x、y軸上的力多；被分解的力盡可能是已知力，不宜分解待求力．

[例1]重為G的木塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，一人欲用最小的作用力F使木板做勻速運(yùn)動(dòng)，則此最小作用力的大小和方向應(yīng)如何？

解析　 取物塊為研究對(duì)象，在與水平面夾θ角斜向右上方的拉力F作用下，物塊沿水平面向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，物塊的受力情況如圖所示，建立起水平向右為x軸正方向、豎直向上為y軸正方向的直角坐標(biāo)系，沿兩坐標(biāo)軸方向列出平衡方程為

Fcosθ－f=0；Fsinθ+N－mg=0.

　 考慮到動(dòng)摩擦力f與正壓力N間的關(guān)系，又有　　 f=μN(yùn).

　 由上述三個(gè)方程消去未知量N和f，將F表示為θ的函數(shù)，得

　　　　　　　　　 F=μmg/(cosθ+μsinθ)，

　 對(duì)上述表達(dá)式作變換，又可表示為　　　 F=，　 其中tanα=μ.

　 由此可知，當(dāng)θ=arctanμ時(shí)，拉力F可取得最小值　　　　 F_min=μmg/.

　 其實(shí)，此例題可用“幾何方法”分析求解：對(duì)物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的四個(gè)力來說，重力mg的大小、方向均恒定；拉力F的大小和方向均未確定；由于支持力N與動(dòng)摩擦力f的比值是確定的，做其合力R的大小未確定而方向是確定的(與豎直線夾α角)，于是，把N與f合成為一個(gè)力R，物塊所受的四個(gè)力即可等效地視為三個(gè)力R、mg和F，而這三個(gè)力的矢量關(guān)系可由圖來表示�！　　　　�

由圖便很容易得出結(jié)論：當(dāng)拉力F與水平面夾角為　 α=tg^-1μ時(shí)，將取得最小值 F_min=mgsinα=

說明：力的三角形法與正交分解法是解決共點(diǎn)力平衡問題的最常見的兩種解法．前者適于三力平衡問題，簡捷、直觀．后者適于多力平衡問題，是基本的解法，但有時(shí)有冗長的演算過程，因此要靈活地選擇解題方法．

[例2]如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在水平放置的鋼板C上，物體與鋼板的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由于光滑導(dǎo)槽AB的控制，該物體只能沿水平導(dǎo)槽運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)使鋼板以速度v向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)用力F沿導(dǎo)槽方向拉動(dòng)物體使其以速度v₁沿槽運(yùn)動(dòng)，則F的大小(　　 )

　 A、等于μmg　　　　　 B、大于μmg　　　　

C、小于μmg　　　　　 D、不能確定

解析：物體m豎直方向上重力與支持力相互平衡，水平面上有F、F_滑、N_A、N_B四個(gè)力，物體m的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是平衡態(tài)，N_A與N_B的合力向右，大小為(N_A－N_B)，F(xiàn)與(N_A－N_B)的合力應(yīng)等于反方向的摩擦力f_滑，由圖可知，顯然滿足滑動(dòng)摩擦力的方向與合力運(yùn)動(dòng)方向相反的事實(shí)，故B項(xiàng)正確。

由某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或由某種物理狀態(tài)變化為另一種物理狀態(tài)時(shí)，發(fā)生轉(zhuǎn)折的狀態(tài)叫臨界狀態(tài)，臨界狀態(tài)可以理解為“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”某種現(xiàn)象的狀態(tài)。平衡物體的臨界狀態(tài)是指物體所處的平衡狀態(tài)將要發(fā)生變化的狀態(tài)。往往利用“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”的條件。

物體受到的合外力為零．即F_合=0

說明；①三力匯交原理：當(dāng)物體受到三個(gè)非平行的共點(diǎn)力作用而平衡時(shí)，這三個(gè)力必交于一點(diǎn)；

②　　　 物體受到N個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)時(shí)，取出其中的一個(gè)力，則這個(gè)力必與剩下的(N-1)個(gè)力的合力等大反向。

③　　 若采用正交分解法求平衡問題，則其平衡條件為：F_X合=0，F(xiàn)_Y合=0；

物體保持靜止或勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(或有固定轉(zhuǎn)軸的物體勻速轉(zhuǎn)動(dòng))．

說明：這里的靜止需要二個(gè)條件，一是物體受到的合外力為零，二是物體的速度為零，僅速度為零時(shí)物體不一定處于靜止?fàn)顟B(tài)，如物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)刻，物體速度為零，但物體不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，因?yàn)槲矬w受到的合外力不為零．

4、整體法與隔離法的交替使用

[例6]如圖所示，有一重力為G的圓柱體放置在水平桌面上，用一夾角為60°、兩夾邊完全相同的人字夾水平將其夾住(夾角仍不變)，圓柱體始終靜止。試問：(1)若人字夾內(nèi)側(cè)光滑，其任一側(cè)與圓柱體間的彈力大小也等于G，則圓柱體與桌面間的摩擦力的大小為多少？答：G

(2)若人字夾內(nèi)側(cè)粗糙，其任一側(cè)與圓柱體間的彈力大小仍等于G，欲使圓柱體對(duì)桌面的壓力為零，則整個(gè)人字夾對(duì)圓柱體摩擦力的大小為多少？方向如何？答：G，方向斜向上

[例7]如圖所示，傾角為θ的斜面A固定在水平面上。木塊B、C的質(zhì)量分別為M、m，始終保持相對(duì)靜止，共同沿斜面下滑。B的上表面保持水平，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。⑴當(dāng)B、C共同勻速下滑；⑵當(dāng)B、C共同加速下滑時(shí)，分別求B、C所受的各力�！　　　�

解：⑴先分析C受的力。這時(shí)以C為研究對(duì)象，重力G₁=mg，B對(duì)C的彈力豎直向上，大小N₁= mg，由于C在水平方向沒有加速度，所以B、C間無摩擦力，即f₁=0。

　　 再分析B受的力，在分析 B與A間的彈力N₂和摩擦力f₂時(shí)，以BC整體為對(duì)象較好，A對(duì)該整體的彈力和摩擦力就是A對(duì)B的彈力N₂和摩擦力f₂，得到B受4個(gè)力作用：重力G₂=Mg，C對(duì)B的壓力豎直向下，大小N₁= mg，A對(duì)B的彈力N₂=(M+m)gcosθ，A對(duì)B的摩擦力f₂=(M+m)gsinθ

⑵由于B、C 共同加速下滑，加速度相同，所以先以B、C整體為對(duì)象求A對(duì)B的彈力N₂、摩擦力f₂，并求出a ；再以C為對(duì)象求B、C間的彈力、摩擦力。

這里，f₂是滑動(dòng)摩擦力N₂=(M+m)gcosθ， f₂=μN(yùn)₂=μ(M+m)gcosθ

沿斜面方向用牛頓第二定律：(M+m)gsinθ-μ(M+m)gcosθ=(M+m)a

可得a=g(sinθ-μcosθ)。B、C間的彈力N₁、摩擦力f₁則應(yīng)以C為對(duì)象求得。

　　 由于C所受合力沿斜面向下，而所受的3個(gè)力的方向都在水平或豎直方向。這種情況下，比較簡便的方法是以水平、豎直方向建立直角坐標(biāo)系，分解加速度a。

　　 分別沿水平、豎直方向用牛頓第二定律：

　　 f₁=macosθ，mg-N₁= masinθ，

可得：f₁=mg(sinθ-μcosθ) cosθ　 N₁= mg(cosθ+μsinθ)cosθ

　　 由本題可以知道：①靈活地選取研究對(duì)象可以使問題簡化；②靈活選定坐標(biāo)系的方向也可以使計(jì)算簡化；③在物體的受力圖的旁邊標(biāo)出物體的速度、加速度的方向，有助于確定摩擦力方向，也有助于用牛頓第二定律建立方程時(shí)保證使合力方向和加速度方向相同。

試題展示

　　　　　　 共點(diǎn)力作用下的物體的平衡

基礎(chǔ)知識(shí)一．共點(diǎn)力

　　 物體同時(shí)受幾個(gè)力的作用，如果這幾個(gè)力都作用于物體的同一點(diǎn)或者它們的作用線交于同一點(diǎn)，這幾個(gè)力叫共點(diǎn)力．

3、優(yōu)先考慮整體法

[例4]有一個(gè)直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB豎直向下,表面光滑。AO上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩環(huán)質(zhì)量均為m，兩環(huán)由一根質(zhì)量可忽略、不可伸長的細(xì)繩相連，并在某一位置平衡(如圖所示)�，F(xiàn)將P環(huán)向左移一小段距離，兩環(huán)再次達(dá)到平衡，那么將移動(dòng)后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)比較，AO桿對(duì)P環(huán)的支持力F_N和摩擦力f的變化情況是

A.F_N不變，f變大　　 B.F_N不變，f變小　　 C.F_N變大，f變大　　 D.F_N變大，f變小

解：以兩環(huán)和細(xì)繩整體為對(duì)象求F_N，可知豎直方向上始終二力平衡，F_N=2mg不變；以Q環(huán)為對(duì)象，在重力、細(xì)繩拉力F和OB壓力N作用下平衡，設(shè)細(xì)繩和豎直方向的夾角為α，則P環(huán)向左移的過程中α將減小，N=mgtanα也將減小。再以整體為對(duì)象，水平方向只有OB對(duì)Q的壓力N和OA 對(duì)P環(huán)的摩擦力f作用，因此f=N也減小。答案選B。

[例5]如圖，有一箱裝得很滿的土豆，以一定的初速度在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平地面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，不計(jì)其他外力及空氣阻力，則中間一質(zhì)量為m的土豆A受到其他土豆對(duì)它的作用力大小應(yīng)是　　　　　　 (　 C　 )

A. mg 　　B. μmg　 　C. 　　　D.