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定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的衍生數(shù)．如：2的衍生數(shù)是

1

1-2

=-1，-1的衍生數(shù)是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a1=-

1

3

，a₂是a₁的衍生數(shù)，a₃是a₂的衍生數(shù)，a₄是a₃的衍生數(shù)，…，依此類推，則a₂₀₁₀=．

定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是

1

1-2

=-1，-1的差倒數(shù)是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推，a₂₀₀₉=．

定義：可以表示為兩個互質整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無理數(shù)．如

2

不能表示為兩個互質的整數(shù)的商，所以，

2

是無理數(shù)．
可以這樣證明：
設

2

=

a

b

，a與b 是互質的兩個整數(shù)，且b≠0．
則2=

a2

b2

a²=2b²因為b是整數(shù)且不為0，所以，a是不為0的偶數(shù)，設a=2n，（n是整數(shù)），所以b²=2n²，所以b也是偶數(shù)，與a，b是互質的正整數(shù)矛盾．所以，

2

是無理數(shù)．仔細閱讀上文，然后，請證明：

5

是無理數(shù)．