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如圖1，Rt△ABC中，∠A＝90°，，點P在線段AB上運動，點Q、R分別在線段BC、AC上，且使得四邊形APQR是矩形．設(shè)AP的長為x，矩形APQR的面積為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象是過點(12，36)的拋物線的一部分(如圖2所示)．

(1)求AB的長；

(2)當AP為何值時，矩形APQR的面積最大，并求出最大值．

為了解決這個問題，孔明和研究性學(xué)習小組的同學(xué)作了如下討論：

張明：圖2中的拋物線過點(12，36)在圖1中表示什么呢？

李明：因為拋物線上的點(x，y)是表示圖1中AP的長與矩形APQR面積的對應(yīng)關(guān)系，那么，(12，36)表示當AP＝12時，AP的長與矩形APQR面積的對應(yīng)關(guān)系．

趙明：對，我知道縱坐標36是什么意思了！

孔明：哦，這樣就可以算出AB，這個問題就可以解決了．

請根據(jù)上述對話，幫他們解答這個問題．

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒(t＞0)，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．

(1)求c，b(用含t的代數(shù)式表示)：

(2)當4＜t＜5時，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N．

①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，S＝；

(3)在矩形ABCD的內(nèi)部(不含邊界)，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“好點”．若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍．

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒(t＞0)，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．

(1)求c，b(用含t的代數(shù)式表示)：

(2)當4＜t＜5時，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N．

①在點P的運動過程中，你認為cos∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出cos∠AMP的值；

②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，；

(3)在矩形ABCD的內(nèi)部(不含邊界)，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“好點”．若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍是________．