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如圖①，直線y=x-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，點A在x軸負半軸上，且

OA

OC

=

1

3

，拋物線經過A、B、C三點，D為線段AB中點，點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連接DP交BC于點E．
（1）寫出A、B、C三點的坐標，并求拋物線的解析式；
（2）當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標；
（3）連接PC、PB（如圖②），△PBC是否有最大面積？若有，求出△PBC的最大面積和此時P點的坐標；若沒有，請說明理由．

如圖13，對稱軸為的拋物線與軸相交于點、.

(1）求拋物線的解析式，并求出頂點的坐標；

(2)連結AB，把AB所在的直線平移，使它經過原點O，得到直線.點P是上一動點.設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為，當0＜S≤18時，求的取值范圍；

(3)在（2）的條件下，當取最大值時，拋物線上是否存在點，使△為直角三角形且OP為直角邊.若存在,直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

 

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．
（1）試比較EO、EC的大小，并說明理由；
（2）令m=

S四邊形CFGH

S四邊形CMNO

，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=

1

3

，Q為AE上一點且QF=

2

3

，拋物線y=mx²+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，若拋物線y=mx²+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖所示，已知A點的坐標為（-1，0），點B的坐標是（9，0）以AB為直徑作⊙O′，交y軸負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C作拋物線
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上的一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連接BD求BD直線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△PCD的面積是△BCD面積的

1

3

，求此時點P的坐標．